`a)` Ta có:

`\qquad \hat{ACB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>\hat{MCN}=90°`

$\quad AH\perp OD$ tại $H$

`=>AN`$\perp OD$ tại $H$

`=>\hat{MHN}=90°`

`=>\hat{MCN}+\hat{MHN}=90°+90°=180°`

`=>MCNH` nội tiếp (vì tổng hai góc đối $180°$)

Ta có:

`\qquad \hat{AEB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>EB`$\perp AE$

Mà `AE`$\perp OD$ tại $H$

`=>OD`//$EB$

$\\$

`b)` Xét $∆BEC$ và $∆KDC$ có:

`\qquad \hat{EBC}=\hat{KDC}` (hai góc so le trong do $OD$//$EB$)

`\qquad BC=DC` (gt)

`\qquad \hat{BCE}=\hat{DCK}` (hai góc đối đỉnh)

`=>∆BEC=∆KDC` (g-c-g)

`=>CE=CK`

Mà $K;C;E$ thẳng hàng 

`=>C` là trung điểm $KE$

$\\$

$\quad C$ là điểm chính giữa cung $AB$ (gt)

`=>\stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{BC}`

`=>AC=BC` (liên hệ cung và dây)

$\quad ∆ABC$ vuông tại $C$ có $AC=BC$

`=>∆ABC` vuông cân tại $C$

`=>\hat{ABC}=45°`

$\\$

Ta có:

`\qquad \hat{AEC}=\hat{ABC}=45°`

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)

`=>\hat{HEK}=45°`

$\\$

Xé $∆EHK$ vuông tại $H$ có `\hat{HEK}=45°`

`=>∆EHK` vuông cân tại $H$

Mà $HC$ là trung tuyến $∆HEK$

(do $C$ là trung điểm $KE$)

`=>HC` đồng thời là đường cao $∆HEK$

`=>HC`$\perp KE$ tại $C$

$\\$

`c)` Xét $∆CAN$ và $∆CDM$ có:

`\qquad \hat{ACN}=\hat{DCM}=90°`

`\qquad CA=CD` (cùng `=CB`)

`\qquad \hat{CAN}=\hat{CDM}` (cùng phụ `\hat{ANC}`)

`=>∆CAN=∆CDM` (g-c-g)

`=>CN=CM`

`=>∆CMN` cân tại $C$

Mà `\hat{MCN}=90°=>∆CMN` vuông cân tại $C$

`=>\hat{CNM}=45°=\hat{CBA}`

Vì `\hat{CNM};\hat{CBA}` ở vị trí đồng vị 

`=>MN`//$AB$

$\\$

Xét $∆ABD$ có:

$\quad O$ là trung điểm $AB$

$\quad C$ là trung điểm $DB$

`=>DO;AC` là các đường trung tuyến của $∆ABD$

Mà $DO$ cắt $AC$ tại $M$

`=>M` là trọng tâm $∆ABD$

`=>CM=1/ 3 AC`

$\\$

Xét $∆ABC$ có $MN$//$AB$

`=>{MN}/{AB}={CM}/{AC}=1/ 3` (hệ quả định lý Talet)

`=>MN=1/ 3 AB=1/ 3 .6=2cm`

Vậy `MN=2cm`