`a)` Xét $∆ABE$ và $∆ACF$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad \hat{AEB}=\hat{AFC}=90°`

`=>∆ABE∽∆ACF` (g-g)

`=>{AB}/{AC}={AE}/{AF}`

`=>AE.AC=AB.AF`

Nếu `AE.AC={AB^2}/2`

`=>AB.AF={AB^2}/2=AB.{AB}/2`

`=>AF={AB}/2`

(Cho nên đề không đầy đủ)

$\\$

`b)` Xét $∆BCF$ có $DM$//$BF$ (vì cùng $\perp CF$)

`=>{CD}/{CB}={CM}/{CF}` (định lý Talet)

Xét $∆BCE$ có $DK$//$BE$ (vì cùng $\perp AC$)

`=>{CD}/{CB}={CK}/{CE}` (định lý Talet)

`=>{CM}/{CF}={CK}/{CE}` 

`=>MK`//$EF$ (định lý Talet đảo)

$\\$

`c)` Bổ sung $H$ là giao điểm của $3$ đường cao $∆ABC$

`\qquad S_{∆ABH}=1/ 2 BD.AH`

`\qquad S_{∆ABD}=1/ 2 BD.AD`

`\qquad S_{∆ACH}=1/ 2 .CD.AH`

`\qquad S_{∆ACD}=1/ 2 CD.AD`

`=>{AH}/{AD}={S_{∆ABH}}/{S_{∆ABD}}={S_{∆ACH}}/{S_{∆ACD}}`

`={S_{∆ABH}+S_{∆ACH}}/{S_{∆ABD}+S_{∆ACD}}={S_{∆ABH}+S_{∆ACH}}/{S_{∆ABC}}`

`\qquad `(Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

$\\$

Tương tự chứng minh được:

`{BH}/{BE}={S_{∆ABH}+S_{∆BCH}}/{S_{∆ABC}}`

`{CH}/{CF}={S_{∆ACH}+S_{∆BCH}}/{S_{∆ABC}}`

$\\$

`=>{AH}/{AD}+{BH}/{BE}+{CH}/{CF}`

`={2(S_{∆ABH}+S_{∆BCH}+S_{∆ACH})}/{S_{∆ABC}}`

`={2S_{∆ABC}}/{S_{∆ABC}}=2`

Vậy `{AH}/{AD}+{BH}/{BE}+{CH}/{CF}=2`