Đáp án:

a) $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$ mà $E\in BC$

$\Rightarrow\widehat{EBD}=\widehat{CBD}\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\,\rm(cmt)\\BD\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABD=\Delta EBD$ (ch.gn).

b) $\Delta ABD=\Delta EBD$ (cmt)

$\Rightarrow AB=BE$ (hai cạnh tương ứng)

$\Delta ABE$ cân tại $B$ có đường phân giác $BD$

$\Rightarrow BD$ là đường trung trực của $AE$.

c) $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow AB\,\bot\,AC\Rightarrow BF\,\bot\,AC$

$\Rightarrow AC$ là đường cao cùa $\Delta BCF$

$DE\,\bot\, BC\Rightarrow EF\,\bot\, BC$

$\Rightarrow EF$ là đường cao của $\Delta BCF$

Mà $AC\cap EF=D\Rightarrow D$ là trực tâm của $\Delta BCF$.

$\Rightarrow BD$ đi qua trực tâm $D$

$\Rightarrow BD$ là đường cao của $\Delta BCF$

$\Rightarrow BD\,\bot\,FC$.

d) Xét hai tam giác vuông $\Delta ADF$ và $\Delta DEC$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\,\rm(đ^2)\\AD=DE\,\rm(cmt)\end{array}\!\right\}\Delta ADF=\Delta DEC$ (g.c.g).

$\Rightarrow CD=DF$ (hai cạnh tương ứng) mà $AD=DE$

$\Rightarrow AD+CD=DE+DF\Rightarrow AC=EF$

$\Delta ADE$ có $AE<AD+DE$ (bất đẳng thức tam giác).

$\Delta DCF$ có $FC<CD+DF$ (bất đẳng thức tam giác).

$\Rightarrow AE+FC<AD+DE+CD+DF$

$\Rightarrow AE+FC<AD+CD+DE+DF$

$\Rightarrow AE+FC<AC+EF$ mà $AC=EF$

$\Rightarrow AE+FC<AC+AC$

$\Rightarrow AE+FC<2AC$.

`a)` Xét $\triangle$ $ABD$ và $\triangle$ $EBD$ ta có $:$

$\widehat{BAD}$ $=$ $\widehat{BED}$ $= 90^o ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A ; DE$ $\bot$ $BC )$

$BD$ chung

$\widehat{ABD}$ $=$ $\widehat{EBD}$ $($ vì $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ $)$

`=>` $\triangle$ $ABD$ $=$ $\triangle$ $EBD ( ch - gn )$

`=>` $\begin{cases} BA=BE\\DA=DE \end{cases}$ $( 2$ cạnh tương ứng $)$

`b)` Vì `B in` trung trực của `AE ( BA = BE )`

Mà `D in` trung trực của `AE ( DA = DE )`

`=> BD in` trung trực của `AE`

`c)` Xét $\triangle$ $BFC$ ta có $:$

$FE$ $\bot$ $BC ($ vì $DE$ $\bot$ $BC )$

$CA$ $\bot$ $AB ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A )$

Mà `FE nn CA = {D}`

`=> D` là trực tâm của $\triangle$ $ABC$ 

`=> BD` $\bot$ $FC$ 

 `d)` `@` Ta có `:` $\widehat{D1}$ $+$ $\widehat{D3}$ $=$ $\widehat{BDF}$ 

$\widehat{D2}$ $+$ $\widehat{D4}$ $=$ $\widehat{BDC}$

Mà $\widehat{D1}$ $=$ $\widehat{D2}$ $($ vì $\triangle$ $ABD$ $=$ $\triangle$ $EBD )$

$\widehat{D3}$ $=$ $\widehat{D4}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

`=>` $\widehat{BDF}$  $=$ $\widehat{BDC}$

`@` Xét $\triangle$ $BDF$ và $\triangle$ $BDC$ ta có $:$

$\widehat{ABD}$ $=$ $\widehat{EBD}$ $( cmt )$

$BD$ chung

$\widehat{BDF}$  $=$ $\widehat{BDC} ( cmt )$

`=>` $\triangle$ $BDF$ và $\triangle$ $BDC ( g - c - g )$

`=> DF = DC ( 2` cạnh tương ứng $)$

Vì `DA = DE ( cmt )`

`=> DF = AC`

Ta có `: DA + DE > AE ( BĐT` $\triangle )$

Mà `DF + DC > FC ( BĐT` $\triangle )$

`=> DA + DE + DF + DC > AE + FC`

`<=> ( DA + DC ) + ( DE + DF ) > AE + FC`

`<=> AC + EF > AE + FC`

`<=> 2AC > AE + FC`