Từ `A` hạ đường cao `AD` xuống đáy `BC`

Ta thấy:

`b^2 = AD^2 + DC^2` (Định lý Py-ta-go ΔADC)

⇔ `b^2 = AB^2 - BD^2 + (BC - BD)^2` (Định lý Py-ta-go ΔABD)

⇔ `b^2 = AB^2 - BD^2 + BC^2 - 2.BC.BD + BD^2` (Hằng đẳng thức số 2)

⇔ `b^2 = AB^2 + BC^2 - 2BC.BD` `(-BD^2 + BD^2 là hết)`

⇔ `b^2 = a^2 + c^2 - 2a.BD` [1]

Xét `ΔABD` vuông tại `D` ta có:

`cosB = (BD)/(AB)`

⇔ `BD = AB.cosB`

hay `BD = c.cosB` thay vào [1]

⇔ `b^2 = a^2 + c^2 - 2ac.cosB`  [Định lý hàm số cos]

Kẻ đường cao AH, gọi `AH=h`,`BH=d`

`⇒CH=BC-CH=a-d`

Áp dụng định lý Pytago trong `ΔAHB` vuông tại `H` có:

`c^2=h^2+d^2⇒h^2=c^2-d^2`

Áp dụng định lý Pytago trong `ΔAHC` vuông tại `H` có:

`b^2=h^2+(a-d)^2⇒h^2=b^2-(a-d)^2`

Mà `h^2=c^2-d^2` `(cmt)`

`⇒b^2-(a-d)^2=c^2-d^2`

`⇒b^2=c^2-d^2+(a-d)^2`

`⇒b^2=c^2-d^2+a^2-2ad+d^2`

`⇒b^2=a^2+c^2-2ad`

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong `ΔAHB` vuông tại `H` có:

`cosB=d/c⇒d=c.cosB`

`⇒b^2=a^2+c^2-2ac.cosB`