a)

Xét tg `BFEC `

Ta có: `\hat{BFC} = \hat{BEC} = 90°` (gt)

=> Tg BFEC nt đc đtr (Tg có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh BC dưới 2 góc bằng nhau)

Xét tg `AFHE`

Ta có: `\hat{AFH} = \hat{AEH} = 90°` (gt)

`=> \hat{AFH} + \hat{AEH} = 180°`

`=>` Tg AFHE nt đc đtr (Tg có tổng 2 góc đối = 180°) (1)

b)Kẻ đường kính AK.

Ta có: `BE \bot AC` tại `E` (gt)

`CK \bot AC` tại `C` (góc nt chắn nửa đtr)

`=> BE` // `CK` (cùng vuông AC)

`=> BH` // `CK` (H thuộc BE)

Chứng minh tương tự với `FC` vuông `AB, BK` vuông `AB => HC` // `BK` (H thuộc FC)

`=>` Tg `BHCK` là hbh (Tg có các góc đối song song)

Mà `I` là tđ `BC` (gt)

`=> I` là tđ `HK` (t/c 2 đường chéo hbh)

`=> H,I,K` thẳng hàng

`=> N,H,I,K` thẳng hàng (N thuộc đt NK, HIK thuộc NK)

Mà `\hat{ANK} = 90°` (góc nt chắn nửa đtr)

`=> \hat{ANH} = 90°`

`=> \Delta ANH` vuông tại `N`

c) Xét tg `ANHE`

Ta có: `\hat{ANH} + \hat{AEH} = 90° + 90° = 180°`

`=>` Tg `ANHE` nt đc đtr, đk `AH` (2)

Từ `(1),(2) => A,N,H,E,F` cùng thuộc đtr, đk AH

`=>` Tg `ANFE` nt đc đtr, đk AH

`=> \hat{NFM} = \hat{NAF}` (t/c của tg nt)

Mà `\hat{MBN} = \hat{NAE}` (do tg BNAC nt)

`=> \hat{NFM} = \hat{MBN}` (t/c bắc cầu)

`=>` Tg `MNFB` nt (Tg có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh đối diện dưới 2 góc bằng nhau)

d)

Ta có: `\hat{MBF} = \hat{FEC}` (Tg BFEC nt)

`\hat{ANF} = \hat{FEC}` (Tg ANFE nt)

`=>\hat{MBF} = \hat{ANF}`

Mà `\hat{MBF} + \hat{MNF} = 180°`

`=> \hat{FNA} + \hat{MNF} = 180°`

`=> M,N,A` thẳng hàng.

😊