`a)`

Ta có:`hat{BDM}=1/2hat{DCA}(g``t)`

`⇒2hat{BDM}=hat{DCA}`

Xét đường tròn `(C)` ta có:

`hat{BEA}=1/2`$sđ\mathop{AD}\limits^{\displaystyle\frown}$(góc nội tiếp)

`⇒2hat{BEA}=`$sđ\mathop{AD}\limits^{\displaystyle\frown}$

Mà trong đường tròn `(C)` ta có `hat{DCA}=`$sđ\mathop{AD}\limits^{\displaystyle\frown}$(góc ở tâm)

`⇒2hat{BEA}=hat{DCA}`

Mà `2hat{BDM}=hat{DCA}(cmt)`

`⇒hat{BEA}=hat{BDM}`

Mà `2` góc này nằm ở vị trí đồng vị

`⇒MD////AE`

Hay `MN////AE(đpcm)`

`b)`

Ta có:`BA⊥CA(ΔABC` vuông tại `C)`

`⇒BA` là tiếp tuyến của đường tròn `(C)`

Xét đường tròn `(C)` ta có:

`hat{BAD}=1/2`$sđ\mathop{AD}\limits^{\displaystyle\frown}$(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

`hat{BEA}=1/2`$sđ\mathop{AD}\limits^{\displaystyle\frown}$(góc nội tiếp)

`⇒hat{BAD}=hat{BEA}`

Xét `ΔBDA` và `ΔBAE` có:

     `hat{BAD}=hat{BEA}(cmt)`

          `hat{B}:chung`

`⇒ΔBDA`$\backsim$`ΔBAE(g.g)`

`⇒(BD)/(BA)=(BA)/(BE)`

`⇒BD.BE=BA^2(đpcm)`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` và `AH` là đường cao ta có:

                        `BA^2=BH.BC`(hệ thức lượng)

Mà `BD.BE=BA^2(cmt)`

`⇒BD.BE=BH.BC`

`⇒(BD)/(BC)=(BH)/(BE)`

Xét `ΔBDH` và `ΔBCE` có:

          `hat{B}:chung`

     `(BD)/(BC)=(BH)/(BE)(cmt)`

`⇒ΔBDH`$\backsim$`ΔBCE(c.g.c)`

`⇒hat{BHD}=hat{BEC}(2` góc tương ứng)

Xét tứ giác `DHCE` có:

    `hat{BHD}=hat{BEC}(cmt)`

`⇒`tứ giác `DHCE` nội tiếp(dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)`(đpcm)`

`c)`

Vì tứ giác `DHCE` nội tiếp

`⇒hat{CDE}=hat{CHE}(2` góc nội tiếp cùng chắn `1` cung)

Ta có:`CD=CE=R`

`⇒ΔCDE` cân tại `C`

`⇒hat{CDE}=hat{CED}`(tính chất `Δ` cân)

Hay `hat{CDE}=hat{BEC}`

Mà `hat{BHD}=hat{BEC}(cmt)`

        `hat{CDE}=hat{CHE}(cmt)`

`⇒hat{CHE}=hat{BHD}`

Mà `hat{AHD}+hat{BHD}=90^o(2` góc phụ nhau)

       `hat{AHE}+hat{CHE}=90^o(2` góc phụ nhau)

`⇒hat{AHD}=hat{AHE}`

`⇒HA` là đường phân giác của `hat{DHE}(đpcm)`

Gọi `AH∩DE={F}`

Vì `MD////AE(cmt)`

`⇒(MD)/(AE)=(BD)/(BE)`(hệ quả định lý Ta-lét)`(1)`

Vì `ND////AE(MN////AE)`

`⇒(ND)/(AE)=(DF)/(EF)`(hệ quả định lý Ta-lét)`(2)`

Vì `HA` là đường phân giác trong của `hat{DHE}(cmt)`

Mà `F∈HA`(theo cách gọi)

`⇒HF` là đường phân giác trong của `hat{DHE}`

`⇒(DF)/(EF)=(HD)/(HE)`(tính chất đường phân giác trong)`(3)`

Ta có:`HA` là đường phân giác trong của `hat{DHE}(cmt)`

Mà `HA⊥HB(g``t)`

`⇒HB` là đường phân giác ngoài của `hat{DHE}`

`⇒(BD)/(BE)=(HD)/(HE)`(tính chất đường phân giác ngoài)`(4)`

Từ `(1),(2),(3),(4)⇒MD=ND`

                           `⇒D` là trung điểm của đoạn thẳng `MN(đpcm)`