a)

Vẽ:

$MD\bot BC$ tại $D$

$NE\bot BC$ tại $E$

Ta có: $\widehat{MBD}=\widehat{ACB}$ ( $\Delta ABC$ cân tại $A$ )

Mà: $\widehat{ACB}=\widehat{NCE}$ ( hai góc đối đỉnh )

$\to \widehat{MBD}=\widehat{NCE}$

Xét $\Delta MBD$ vuông tại $D$ và $\Delta NCE$ vuông tại $E$, ta có:

$BM=CN\,\,\,\left( gt \right)$

$\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \Delta MBD=\Delta NCE$ ( cạnh huyền – góc nhọn )

$\to MD=NE$ ( hai cạnh tương ứng )

Xét $\Delta MDI$ vuông tại $D$ và $\Delta NEI$ vuông tại $E$, ta có:

$MD=NE\,\,\,\left( cmt \right)$

$\widehat{MID}=\widehat{NIE}$ ( hai góc đối đỉnh )

$\to \Delta MDI=\Delta NEI$ ( cạnh góc vuông – góc nhọn )

$\to MI=NI$ ( hai cạnh tương ứng )

$\to I$ là trung điểm $MN$

b)

Xét $\Delta ABO$ và $\Delta ACO$, ta có:

$AB=AC$ ( vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )

$\widehat{BAO}=\widehat{CAO}$ ( vì $Ax$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$ )

$AO$ là cạnh chung

$\to \Delta ABO=\Delta ACO\,\,\,\left( c.g.c \right)$

$\to\begin{cases}OB=OC\,\,\,\left(\text{ hai cạnh tương ứng }\right)\\\widehat{MBO}=\widehat{ACO}\,\,\,\left(\text{ hai góc tương ứng }\right)\end{cases}$

Xét $\Delta MBO$ và $\Delta NCO$, ta có:

$OB=OC\,\,\,\left( cmt \right)$

$BM=CN\,\,\,\left( gt \right)$

$OM=ON$ ( vì $O$ thuộc đường trung trực của $MN$ )

$\to \Delta MBO=\Delta NCO\,\,\,\left( c.c.c \right)$

$\to \widehat{MBO}=\widehat{NCO}$ ( hai góc tương ứng )

Ta có: $\begin{cases}\widehat{MBO}=\widehat{ACO}\,\,\,\left(cmt\right)\\\widehat{MBO}=\widehat{NCO}\,\,\,\left(cmt\right)\end{cases}$

$\to \widehat{ACO}=\widehat{NCO}$

Mà: $\widehat{ACO}+\widehat{NCO}=180{}^\circ $ ( hai góc kề bù )

Nên: $\widehat{ACO}=\widehat{NCO}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

Hay: $OC\bot AC$