Đáp án:

$C.\ -18$

Giải thích các bước giải:

$I(4;3;4)$ là tâm của mặt cầu $(S)$ đường kính $AB$

Gọi $C,\ D$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng đáy của hình nón $(N)$ và mặt cầu $(S)$

$\Rightarrow AB\perp CD$

Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $CD$

$\Rightarrow H$ là tâm của đường tròn đáy hình nón

Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (4;4;2)$

$R= \dfrac12AB = IA = IB = IC = ID$

$\Rightarrow R = \dfrac12\sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = 3$

Đặt $IH = x\quad (x >0)$

$\Rightarrow \begin{cases}AH = 3 + x\\HC = \sqrt{IC^2 - IH^2} = \sqrt{9 - x^2}\end{cases}$

Khi đó:

$\quad V_{(N)} = \dfrac13\pi HC^2.AH = \dfrac13\cdot \pi\cdot x^2\cdot(9-x^2)\cdot (3+x)$

$\Leftrightarrow V = \dfrac13\pi \left(-x^3 -3x^2 + 9x + 27\right)$

Đặt $f(x) = \dfrac13\pi \left(-x^3 -3x^2 + 9x + 27\right)$

$\Rightarrow f'(x)= \dfrac13\pi \left(-3x^2 - 6x + 9\right)$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 1\quad (nhận)\\x = -3\quad (loại)\end{array}\right.$

Do đó $f(x)\ \max \Leftrightarrow x = 1$

$\Leftrightarrow V\ \max \Leftrightarrow x = 1$

$\Rightarrow AH = 3 + 1 = 4$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{AB} = \dfrac23$

$\Rightarrow \overrightarrow{AH} = \dfrac23\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \begin{cases}x_H - 2 = \dfrac23\cdot 4\\y_H - 1 = \dfrac23\cdot 4\\z_H - 3= \dfrac23\cdot 2\end{cases}$

$\Rightarrow H\left(\dfrac{14}{3};\dfrac{11}{3};\dfrac{13}{3}\right)$

Phương trình mặt phẳng chứa đáy hình nón đi qua $H\left(\dfrac{14}{3};\dfrac{11}{3};\dfrac{13}{3}\right)$ và nhận $\overrightarrow{AB} = (4;4;2)$ làm VTPT có dạng:

$4\left(x - \dfrac{14}{3}\right) + 4\left(y - \dfrac{11}{3}\right) + 2\left(z - \dfrac{13}{3}\right) =0$

$\Leftrightarrow 2x + 2y + z - 21 = 0$

$\Rightarrow \begin{cases}b =2\\c = 1\\d= -21\end{cases}$

$\Rightarrow b + c + d = -18$