Đáp án:

a) Qua $K$ song song với $BC\cap AC=N$

$\Rightarrow KN//BC$ mà $M\in BC\Rightarrow KN//MC$.

$\Rightarrow\widehat{MNK}=\widehat{CMN}$ (cặp góc so le trong)

Qua $K$ song song với $AC\cap BC=M$

$\Rightarrow KM//AC$ mà $N\in AC\Rightarrow KM//NC$

$\Rightarrow\widehat{KMN}=\widehat{MNC}$ (cặp góc so le trong).

Xét hai tam giác $\Delta KMN$ và $\Delta MNC$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{MNK}=\widehat{CMN}\,\rm(cmt)\\MN\rm\ là\ cạnh\ chung\\\widehat{KMN}=\widehat{CMN}\,\rm(cmt)\end{array}\!\right\}\Delta KMN=\Delta MNC$ (g.c.g).

$\Rightarrow  KN=CM$ (hai cạnh tương ứng).

b) $CD=CM$ mà $KN=CM$ nên $CD=KN$.

$CD$ là tia đối của $CM$ nên $M,C,D$ thẳng hàng.

Và $KN//CM\Rightarrow KN//CM$

$\Rightarrow\widehat{NKD}=\widehat{CDK}$ (cặp góc so le trong).

$\Rightarrow\widehat{KNC}=\widehat{NCD}$ (cặp góc so le trong).

Xét hai tam giác $\Delta KNI$ và $\Delta CDI$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{NKD}=\widehat{CDK}\,\rm(cmt)\\CD=KN\,\rm(cmt)\\\widehat{KNC}=\widehat{NCD}\,\rm(cmt)\end{array}\!\right\}\Delta KNI=\Delta CDI$ (g.c.g).

$\Rightarrow IN=IC$ (hai cạnh tương ứng).

c) $BE=BK\Rightarrow B$ là trung điểm của $EK$

$\Rightarrow BD$ là đường trung tuyến của $\Delta DKE$.

$K$ là trung điểm của $AB\Rightarrow AK=BK$.

$KN//BC$ mà $M\in BC\Rightarrow KN//BM$

$\Rightarrow\widehat{AKN}=\widehat{KBM}$ (cặp góc đồng vị).

$KM//AC$ mà $N\in AC\Rightarrow KM//AN$

$\Rightarrow \widehat{KAN}=\widehat{BKM}$ (cặp góc đồng vị).

Xét hai tam giác $\Delta AKN$ và $\Delta BKM$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{AKN}=\widehat{KBM}\,\rm(cmt)\\AK=BK\,\rm(cmt)\\\widehat{KAN}=\widehat{BKM}\,\rm(cmt)\end{array}\!\right\}\Delta AKN=\Delta BKM$ (g.c.g).

$\Rightarrow KN=BM$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $KN=CM$ nên $BM=CM$ và $CD=CM$
$\Rightarrow BM=CM=CD=\dfrac{BD}3$
$\Rightarrow CM+CD=MD=\dfrac{2BD}3$
$\Rightarrow MD=\dfrac23 BD$ mà $M\in BD$
$\Rightarrow M$ là trọng tâm của $\Delta DKE$.

$\Delta KNI=\Delta CDI$ (cmt)

$\Rightarrow IK=ID$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $KD$

$\Rightarrow IE$ là đường trung tuyến của $\Delta DKE$

$\Rightarrow IE$ đi qua trọng tâm $M$

$\Rightarrow M\in IE\Rightarrow E,M,I$ thẳng hàng.