Đáp án:

1. Áp dụng định lý Pythagoras đảo ta có:

$AB^2+AC^2=9^2+12^2=225$

$BC^2=15^2=225$

$\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$.

2. a) $AM$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $BC\Rightarrow BM=CM$.

Xét hai tam giác $\Delta HMC$ và $\Delta MKB$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}BM=CM\,\rm(cmt)\\\widehat{HMC}=\widehat{BMK}\,\rm(đ^2)\\MK=MH\,\rm(gt)\end{array}\!\right\}\Delta HMC=\Delta HKB$ (c.g.c).

$\Rightarrow\widehat{BKM}=\widehat{MHC}$ (hai góc tương ứng).

$MH\,\bot\,AC\Rightarrow\widehat{MHC}=90^\circ$

Mà $\widehat{BKM}=\widehat{MHC}$ nên $\widehat{BKM}=90^\circ$

$\Rightarrow BK\,\bot\,KM\Rightarrow BK\,\bot\,KH$.

b) $\Delta ABC$ vuông tại $A\Rightarrow AB\,\bot\,AC$

$MH\,\bot\,AC\Rightarrow KH\,\bot\,AC\Rightarrow AB//KH$.

$\Rightarrow \widehat{ABH}=\widehat{BHK}$ (cặp góc so le trong).

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABH$ và $\Delta BHK$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{ABH}=\widehat{BHK}\,\rm(cmt)\\BH\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABH=\Delta BHK$ (ch-gn)

$\Rightarrow AH=BK$ (hai cạnh tương ứng).

$\Delta MHC=\Delta MKB$ (cmt)

$\Rightarrow HC=BK$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AH=BK$ nên $AH=HC$

$\Rightarrow H$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow BH$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$.

Mà $AM$ cũng là đường trung tuyến của $\Delta ABC$

$\Rightarrow BH\cap AM=G\Rightarrow G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.