a)

$\widehat{M}$ là góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

$\to \widehat{M}=\dfrac{1}{2}\left( sđ\,\overset\frown{BD}-sđ\,\widehat{AC} \right)$

$\widehat{ANC}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn

$\to \widehat{ANC}=\dfrac{1}{2}\left( sđ\,\overset\frown{BD}+sđ\,\overset\frown{AC} \right)$

$\to \widehat{M}+\widehat{ANC}=sđ\,\overset\frown{BD}$

$\to \widehat{M}+\widehat{ANC}=2\widehat{BCD}$

b)

$\widehat{BDC}=\dfrac{1}{2}sđ\,\overset\frown{BC}$ ( góc nội tiếp chắn $\overset\frown{BC}$ )

$\widehat{BCK}=\dfrac{1}{2}sđ\,\overset\frown{BC}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn $\overset\frown{BC}$ )

$\to \widehat{BDC}=\widehat{BCK}$

c)

$A,C,D,B\,\,\in \,\,\left( O \right)$

$\to ACDB$ là tứ giác nội tiếp

$\to \widehat{MAC}=\widehat{MDB}$ ( góc ngoài bằng góc đối trong )

Xét $\Delta MAC$ và $\Delta MDB$, ta có:

$\widehat{BMD}$ là góc chung

$\widehat{MAC}=\widehat{MDB}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \Delta MAC\backsim\Delta MDB\,\,\,\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MB}$

$\to MA.MB=MC.MD$

d)

Xét $\Delta KCA$ và $\Delta KBC$, ta có:

$\widehat{BKC}$ là góc chung

$\widehat{KCA}=\widehat{KBC}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung )

$\to \Delta KCA\backsim\Delta KBC\,\,\,\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{KC}{KB}=\dfrac{KA}{KC}$

$\to K{{C}^{2}}=KA.KB$