`a)` Có : Đường cao `AH` ( gt ) 

`=> hat{H_1} = hat{H_2} = hat{H_3} = 90^o` 

Có : `hat{H_2} = hat{H_3} = 90^o` ( cmt) 

`=> HC bot AK ` 

`=> HC` là đường cao của `\triangle AKC`

Có : `AN bot CN `   ( gt)  

`=> hat{N_1} = hat{N_2} = 90^o`

`=> AN` là đường cao của `\triangle AKC` 

`\triangle AKC ` có : 

`+) ` Đường cao `HC` ( cmt)

`+)` Đường cao `AN`  ( cmt) 

`+)` `{:(M in HC ( g t)),(AM bot CN ( g t) => M in AN ):}}=> AN nn HC={M}`

`=> M` là trực tâm của `\triangle AKC`

`=> MK` cũng là đường cao của `\triangle AKC`

`=> MK bot AC `        

Mà `\triangle ABC ` vuông tại `A` ( gt) `=> AB bot AC `

`=> MK //// AB ` 

`=> hat{B} = hat{M_1}`         ( so le trong ) 

Xét `\triangle BAH ` và `\triangle HKM` có : 

`+)` `HB = HM ` ( gt)

`+)` `hat{H_1} = hat{H_3}`  ( cmt) 

`+)` `hat{B} = hat{M_1}`      ( cmt)

`=> ` `\triangle BHA = ``\triangle MHK` ( cgv - gn ) 

`=> AB = MK` ( `2` cạnh tương ứng ) 

`b)`  Có : `\triangle BHA = ``\triangle MHK` ( cmt) 

`=> AH = HK`  ( `2` cạnh tương ứng ) 

Mà `HC bot AK ` ( cmt) 

`=> HC` là đường trung trực của `AK `

`=> AC = CK `   ( tính chất điểm thuộc đường trung trực ) 

`=> ` `\triangle AKC` cân tại `C` 

`c)` Giả sử nếu `\triangle CAK ` đều 

`=> AK = KC=AC ; hat{KAC} = hat{AKC} = hat{ACK}= 60^o `

Có : `\triangle ABC ` vuông tại `A` ( gt)

`=> hat{BAC} = 90^o`

`=> hat{BAH} + hat{KAC} = 90^o`

`=> hat{BAH} = 90^o - hat{KAC} = 90^o - 60^o = 30^o` 

`\triangle BAH` vuông tại `H` có : 

`hat{B} + hat{BAH} = 90^o` ( định lí tổng `2` góc nhọn trong tam giác vuông ) 

`=> hat{B} = 90^o - hat{BAH} = 90^o - 30^o = 60^o`

`=> ` Để `\triangle CAK` đều thì `\triangle ABC` cần có `hat{B} = 60^o` ( hoặc `hat{BCA} = 30^o` )