`a)` Xét $\triangle$ $ABE$ và $\triangle$ $HBE$ ta có $:$

$\widehat{BAE}$ $=$ $\widehat{BHE}$ $= 90^o ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A ; EH$ $\bot$ $BC )$

$BE$ chung

$\widehat{B1}$ $=$ $\widehat{B2}$ $($ vì $BE$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ $)$

`=>` $\triangle$ $ABE$ $=$ $\triangle$ $HBE ( ch - gn )$

`=>` $\begin{cases} BA = BH\\EA = EH \end{cases}$ $( 2$ cạnh tương ứng $)$

`b)` Ta có `: B in` trung trực `AH ( BA = BH )`

Mà `E in` trung trực `AH ( EA = EH )`

`=> BE in` trung trực `AH`

`c)` Xét $\triangle$ $AEK$ và $\triangle$ $HEC$ ta có $:$

$\widehat{KAE}$ $=$ $\widehat{CHE}$ $= 90^o ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A ; EH$ $\bot$ $BC )$

$EA = EH ( cmt )$

$\widehat{AEK}$ $=$ $\widehat{HEC}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

`=>` $\triangle$ $AEK$ $=$ $\triangle$ $HEC ( cgv - gnk )$

`=> EK = EC ( 2` cạnh tương ứng $)$

`d)` Ta có `: BA = BH ( cmt )`

Mà `AK = HC (` vì $\triangle$ $AEK$ $=$ $\triangle$ $HEC )$

`=> BK = BC`

`=>` $\triangle$ $BKC$ cân tại $B ( dhnb )$
`=>` $\widehat{BKC}$ `= ( 180 - \hat{ABC} )/2 (1)`

Vì $\triangle$ $BAH$ cân tại $B ( BA = BH )$

`=>` $\widehat{BAH}$ `= ( 180 - \hat{ABC} )/2 (2)`

Từ `(1) ; (2) =>` $\widehat{BKC}$ $=$ $\widehat{BAH}$ `( = ( 180 - \hat{ABC} )/2)`

Mà $2$ góc này ở vị trí đồng vị

`=>` $AH // KC ( dhnb )$

Đáp án:

 a) xét tam giác ABE vuông tại A và tam giác HBE vuông tại H ta có 

BE=BE ( cạnh chung) ; góc ABE= góc HBE ( BE là tia p/g góc B)

--> tam giác ABE= tam giác HBE ( ch=gn)

b) ta có 

BA=BH ( tam giác ABE= tam giác HBE)

EA=EH( tam giác ABE= tam giác HBE)

==> BE là đường trung trực của AH

c) xét tam giác EKA và tam giác ECH ta có 

AE=EH ( tam giác ABE= tam giác HBE) ; góc EAK= góc EHC (=90); góc AEK= góc HEC ( 2 góc đối đỉnh )

--> tam giác EKA = tam giác ECH ( g--c-g)

--> EK=EC (2 cạnh tương ứng )

d) từ điểm E đến đường thẳng HC ta có :

EH là đường vuông góc ( EH vuông góc BC)

EC là đường xiên

-> EH<EC ( quan hệ đường xiên đường vuông góc)

mà EH= AE ( tam giác ABE= tam giác HBE)

nên AE < EC