`b)` $AD$ là phân giác của `\hat{BAD}`

`=>{DC}/{DB}={AC}/{AB}`

`\qquad` Xét $∆ABC$ có $DE$//$AB$

`=>{EC}/{EA}={DC}/{DB}` (định lý Talet)

`=>{AC}/{AB}={EC}/{EA}`

`=>AC.EA=AB.EC`

$\\$

`c)` $I$ là trung điểm $AB$ (gt)

`=>AI=IB`

`\quad DE`//$AB$

`=>\hat{ADE}=\hat{BAD}` (hai góc so le trong)

Mà `\hat{BAD}=\hat{DAE}` (do $AD$ là phân giác `\hat{BAC}`)

`=>\hat{ADE}=\hat{DAE}`

`=>∆ADE` cân tại $E$

`=>AE=DE` 

$\\$

$\quad AP$ là phân giác `\hat{IAE}`

`=>{PE}/{PI}={AE}/{AI}`

`=>{PE}/{PI}={DE}/{IB}` $\ (1)$

$\\$

Xét $∆EDQ$ và $∆BIQ$ có:

`\hat{EQD}=\hat{BQI}` (hai góc đối đỉnh)

`\hat{EDQ}=\hat{BIQ}` (hai góc so le trong do $DE$//$AB$)

`=>∆EDQ∽∆BIQ` (g-g)

`=>{QD}/{QI}={DE}/{IB}` $\ (2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>{PE}/{PI}={QD}/{QI}`

`=>PQ`//$DE$ (định lý Talet đảo)

$\\$

Xét $∆IPQ$ và $∆IED$ có:

` \hat{I}` chung

` \hat{IPQ}=\hat{IED}` (hai góc đồng vị do $PQ$//$DE$)

`=>∆IPQ∽∆IED` (g-g)