Giải thích các bước giải:

Qua A kẻ  \(AH \bot BD\,\,\left( {H \in BD} \right)\), kẻ \(AK \bot A'H\,\,\,\left( {K \in A'H} \right)\)

Ta có:

ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên 

\(\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
A'A \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow A'A \bot BD\\
AH \bot BD
\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {A'AH} \right)\\
 \Rightarrow BD \bot AK \Rightarrow AK \bot \left( {A'BD} \right)\\
 \Rightarrow AK = 3\sqrt {10} a
\end{array}\)

Tam giác ABD vuông tại A nên 

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {3a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2\sqrt 3 a} \right)}^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{6\sqrt 7 a}}{7}\)

Tam giác A'AH vuông tại A có đường cao AK nên ta có:

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {3\sqrt {10} a} \right)}^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{6\sqrt 7 a}}{7}a} \right)}^2}}} \Rightarrow A'A = ...\)