a)

$\Delta DEH$ có $HM$ là phân giác $\widehat{DHE}$

$\to \dfrac{MD}{DH}=\dfrac{ME}{EH}=\dfrac{MD+ME}{DH+EH}=\dfrac{DE}{DH+EH}=\dfrac{16}{20+12}=\dfrac{1}{2}$

$\bullet \,\,\,\,\,\dfrac{MD}{DH}=\dfrac{1}{2}\to MD=\dfrac{1}{2}DH=\dfrac{1}{2}.20=10\,\,\left( cm \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,\dfrac{ME}{EH}=\dfrac{1}{2}\to ME=\dfrac{1}{2}EH=\dfrac{1}{2}.12=6\,\,\left( cm \right)$

b)

$\Delta DEH$ có $HM$ là tia phân giác $\widehat{DHE}$

$\to \dfrac{MD}{ME}=\dfrac{DH}{EH}$

$\Delta DHF$ có $HN$ là tia phân giác $\widehat{DHF}$

$\to \dfrac{ND}{NF}=\dfrac{DH}{FH}$

Mà $EH=FH$ ( vì $H$ là trung điểm $EF$ )

$\to \dfrac{DH}{EH}=\dfrac{DH}{FH}$

$\to \dfrac{MD}{ME}=\dfrac{ND}{NF}$

$\to MN\,\,||\,\,EF$ ( định lý Ta – let đảo )

c)

$\Delta DEH$ có $MI\,\,||\,\,EH$

$\to \dfrac{DI}{DH}=\dfrac{MI}{EH}$ ( hệ quả định lý Ta – let )

$\Delta DFH$ có $NI\,\,||\,\,FH$

$\to \dfrac{DI}{DH}=\dfrac{NI}{FH}$ ( hệ quả định lý Ta – let )

$\to \dfrac{MI}{EH}=\dfrac{NI}{FH}$

Mà $EH=FH$ ( vì $H$ là trung điểm $EF$ )

$\to MI=NI$

$\to I$ là trung điểm $MN$

d)

$\Delta DEF$ có $MN\,\,||\,\,EF$

$\to \Delta DMN\backsim\Delta DEF$

$\to \dfrac{{{S}_{\Delta DMN}}}{{{S}_{\Delta DEF}}}={{\left( \dfrac{DM}{DE} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{10}{16} \right)}^{2}}=\dfrac{25}{64}$

$\to {{S}_{\Delta DMN}}=\dfrac{25}{64}{{S}_{\Delta DEF}}$

${{S}_{EMNF}}={{S}_{\Delta DEF}}-{{S}_{\Delta DMN}}$

${{S}_{EMNF}}={{S}_{\Delta DEF}}-\dfrac{25}{64}{{S}_{\Delta DEF}}$

${{S}_{EMNF}}=\dfrac{39}{64}{{S}_{\Delta DEF}}$

${{S}_{EMNF}}=\dfrac{39}{64}.96$

${{S}_{EMNF}}=58,5\,\,\left( c{{m}^{2}} \right)$