a)

$\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AH$ là đường cao

Nên $AH$ cũng là đường trung tuyến,phân giác, trung trực

$\to BH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{6}{2}=3\,\,\left( cm \right)$

$\Delta ABH$ vuông tại $H$

$\to A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}$ ( định lý Pi-ta-go )

$\to AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}$

$\to AH=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4\,\,\left( cm \right)$

b)

$AH$ là tia phân giác góc trong của $\widehat{BAC}$

$AM$ là tia phân giác góc ngoài của $\widehat{BAC}$

$\to AH\bot AM$

Xét $\Delta MAI$ và $\Delta MOA$, ta có:

$\widehat{MIA}=\widehat{MAO}=90{}^\circ $

$\widehat{AMO}$ là góc chung

$\to \Delta MAI\backsim\Delta MOA\,\,\,\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AM}{OM}=\dfrac{IM}{AM}$

$\to A{{M}^{2}}=OM.IM$

c)

$\begin{cases}AH\bot AM\,\,\,\left(cmt\right)\\AH\bot BC\,\,\,\left(gt\right)\end{cases}$

$\to AM\,\,||\,\,BC$

$\to \widehat{AMB}=\widehat{IBC}$ ( hai góc so le trong )

Ta có: $\begin{cases}\widehat{AMB}=\widehat{IBC}\,\,\,\left(cmt\right)\\\widehat{IBC}=\widehat{OAC}\,\,\,\left(\text{ cùng phụ góc ACB }\right)\\\widehat{OAC}=\widehat{OAB}\,\,\,\left(\text{ AH là phân giác góc BAC }\right)\end{cases}$

$\to \widehat{AMB}=\widehat{OAB}$

Xét $\Delta MAB$ và $\Delta AOB$, ta có:

$\widehat{AMB}=\widehat{OAB}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\widehat{ABM}$ là góc chung

$\to \Delta MAB\backsim\Delta AOB$

d)

$\bullet \,\,\,\,\,{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}IB.AC$

$\to AH.BC=IB.AC$

$\to IB=\dfrac{AH.BC}{AC}=\dfrac{4.6}{5}=4,8\,\,\left( cm \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,\Delta BIC$ vuông tại $I$

$\to B{{C}^{2}}=I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$

$\to IC=\sqrt{B{{C}^{2}}-I{{B}^{2}}}$

$\to IC=\sqrt{{{6}^{2}}-4,{{8}^{2}}}=3,6\,\,\left( cm \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,IA+IC=AC$

$\to IA=AC-IC$

$\to IA=5-3,6=1,4\,\,\left( cm \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,\Delta IBC$ có $AM\,\,||\,\,BC$

$\to \dfrac{IA}{IC}=\dfrac{IM}{IB}$

$\to IM=\dfrac{IA.IB}{IC}=\dfrac{1,4\,.\,4,8}{3,6}=\dfrac{28}{15}\,\,\left( cm \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,MB=IB+IM$

$\to MB=4,8\,+\,\dfrac{28}{15}=\dfrac{20}{3}\,\,\left( cm \right)$

Ta có:

$IA.MB=1,4\,.\,\dfrac{20}{3}=\dfrac{28}{3}$

$5IM=5.\dfrac{28}{15}=\dfrac{28}{3}$

$\to IA.MB=5IM\,\,\,\,\,\left( =\dfrac{28}{3} \right)$