a) $X$ là tuổi thọ của mỗi sản phẩm.

$\Rightarrow X$ có phân phối chuẩn: $X\sim\mathscr{N}(5,6;1,44)$

Tỉ lệ bảo hành của loại sản phẩm này:

$\quad P(X\leqslant 4)= \dfrac12 + \Phi\left(\dfrac{4 - 5,6}{1,2}\right)$

$\Leftrightarrow P(X\leqslant 4)= 0,5 - \Phi(1,33)$

$\Leftrightarrow P(X\leqslant 4)= 0,5 - 0,4082$

$\Leftrightarrow P(X\leqslant 4)=0,0918$

Vậy tỉ lệ bảo hành của loại sản phẩm này ở mức $9,18\%$

b) Gọi $Y$ là tiền lãi nhận được khi bán một sản phẩm

Ta được bảng phân phối xác suất của $Y:$

$\begin{array}{c|c|c}Y&-300&500\\\hline P&0,0918&0,9082\end{array}$

Tiền lãi trung bình khi bán một sản phẩm:

$E(Y)= - 300\cdot0,0918 + 500\cdot0,9082  = 426,56$ (ngàn)

Vậy tiền lãi trung bình là $426,56$ ngàn

c) Gọi $x$ là thời gian bảo hành cần quy định để tiền lãi trên một sản phẩm là $450$ ngàn và $Z$ là tiền lãi khi bán một sản phẩm.

$P(Z = 500) = P(X\geqslant x) = 1 - P(X< x)$

$P(Z = - 300)= P(X< x)$

Ta có:

$\quad E(Z)= 450$

$\Leftrightarrow - 300\cdot P(X < x) + 500(1 - P(X < x))= 450$

$\Leftrightarrow P(X <x) = 0,0625$

$\Leftrightarrow 0,5 + \Phi\left(\dfrac{x - 5,6}{1,2}\right)= 0,0625$

$\Leftrightarrow \Phi\left(\dfrac{x - 5,6}{1,2}\right) = - 0,4375$

$\Leftrightarrow \dfrac{x - 5,6}{1,2}=- 1,53$

$\Leftrightarrow x = 3,764$ (năm)

Vậy phải quy định thời gian bảo hành là $3,764$ năm