\(a,\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên theo hệ thức lượng ta có:

\(AB.AC=AH.BC\to AB.AC=12.25=300\)

Mặt khác theo định lí Pytago ta có:

\(AB^2+AC^2=BC^2=25^2=625\\\to (AB+AC)^2-2.300=625\\\to (AB+AC)^2=1225\)

Do \(AB+AC>0\to AB+AC=35\)

\(b,\)

Kẻ \(AH_1\bot MN (H_1\in D)\)

Gọi \(X\) là trung điểm \(BC\)

\(\Delta AMN\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH_1\) nên theo hệ thức lượng ta có:

\(\dfrac{1}{AH_1^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}\)

Do \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\to AG=\dfrac{2}{3}AX\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AX\) là đường trung tuyến \(\to AX=\dfrac{1}{2}BC\)

Mặt khác: \(AH_1 \le AG\) (Quan hệ đường xiên - Hình chiếu)

\(\to AH_1 ^2\le AG^2=\dfrac{4}{9}AX^2=\dfrac{BC^2}{9}\\\to \dfrac{1}{AH_1^2}\ge \dfrac{9}{BC^2}\\\to \dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}\ge \dfrac{9}{BC^2}\)

Dấu "=' xảy ra khi: \(H_1\equiv G\) hay \(AG\bot d\)