Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a)` Xét `\DeltaABC` vuông tại `A` có:

`BC^2 = AB^2 + AC^2` (Định lý Pytago)

`=> BC^2 = 12^2 + 16^2 = 20^2`

`=> BC = 20`(cm)

Xét `\DeltaABC` vuông tại `A,` đường cao `AH` có:

`BC. AH = AB. AC` (Hệ thức về cạnh và đường cao)

`=> AH = (AB. AC)/(BC) = (12. 16)/20 = 9,6`(cm)

Lại có: `AB^2 = BH. BC` (Hệ thức về cạnh và đường cao)

`=> BH = (AB^2)/(BC) = 12^2/20 = 7,2`(cm)

Mà: `BH + HC = BC (H\inBC)`

`=> HC = BC - BH = 20 - 7,2 = 12,8`(cm)

___$\\$ `b)` Xét `\DeltaABC` có: `AD` là phân giác `\hat{BAC}` (gt)

`=> (BD)/(DC) = (AB)/(AC)` (tính chất đường phân giác)

`=> (BD)/(BD + DC) = (AB)/(AB + AC)`

`=> (BD)/(BC) = 12/(12 + 16)`

`=> (BD)/20 = 3/7`

`=> BD = (20.3)/7 = 60/7`(cm)

Ta có: `BD + DC = BC (D \in BC)`

`=> DC = BC - BD = 20 - 60/7 = 80/7`(cm)

___ $\\$ `c)` Xét `\DeltaABH` vuông tại `H` đường cao `HE` có:

`AH^2 = AE. AB` (Hệ thức về cạnh và đường cao) `(1)`

Xét `\DeltaAHC` vuông tại `H` đường cao `HF` có:

`AH^2 = AF. AC` (Hệ thức về cạnh và đường cao) `(2)`

Từ `(1)` và `(2) => AE. AB = AF. AC (=AH^2)`

`*a,` Áp dụng định lý Py-ta-go vào `ΔABC` vuông tại `A`

⇒ `BC^2 = AB^2 + AC^2`

⇔ `BC^2 = 12^2 + 16^2`

⇔ `BC = 20`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có `AH` là đường cao:

⇒ `AB^2 = BH.BC` (Hệ thức lượng)

⇔ `BH = (AB^2)/(BC)`

⇔ `BH = (12^2)/(20)`

⇔ `BH = 7,2`

Áp dụng định lý Py-ta-go vào `ΔABH` vuông tại `H`

⇒ `BA^2 = AH^2 + HB^2`

⇔ `AH^2 = AB^2 - BH^2`

⇔ `AH^2 = 12^2 - 7,2^2`

⇔ `AH = 9,6`

Có `BC = BH + HC`

⇔ `CH = BC - BH = 20 - 7,2 = 12,8`

`*b,` Xét `ΔABC` ta có: `BC = DB + DC`

⇔ `DC = BC - DB = 20 - DB` [1]

Xét `ΔABC` có `AD` là phân giác:

⇒ `(AB)/(AC) = (DB)/(DC)` (Tính chất đường phân giác ở tam giác)

⇔ `AB.DC = AC.DB`

⇔ `12.(20 - DB) = 16.DB`

⇔ `240 - 12DB = 16DB`

⇔ `240 = 28DB`

⇔ `DB = (60)/7`

Thay `DB = (60)/7` vào [1] 

⇒ `DC = 20 -  (60)/7 =(80)/7 `

`*c,` Xét tứ giác `EHFA` ta có:

$\widehat{HEA}$ = $\widehat{EAF}$ = $\widehat{AFH}$ = `90^o`

⇒ `EHFA` là hình chữ nhật (Dấu hiệu nhận biết)

Gọi giao điểm của `EF` và `AH` là `O`

⇒ `EO = AO` (Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

⇒ `ΔEOA` là `Δcân` tại `O`

⇒ $\widehat{OAE}$ = $\widehat{OEA}$ [3]

Xét `ΔABC` và `ΔHBA` ta có:

$\widehat{ABC}$ chung

$\widehat{BAC}$  = $\widehat{AHB}$ = `90^o`

⇒ `ΔABC` $\backsim$ `ΔHBA` (g - g)

⇒ $\widehat{BCA}$  = $\widehat{HAB}$ (2 góc tương ứng) [2]

Từ [2] và [3] ⇒ $\widehat{BCA}$ = $\widehat{FEA}$ (= $\widehat{HAB}$ )

Xét `ΔAEF` và `ΔACB` ta có:

$\widehat{FEA}$ = $\widehat{BCA}$ (cmt)

$\widehat{CAB}$ chung

⇒ `ΔAEF` $\backsim$ `ΔACB` (g - g)

⇒ `(AE)/(AF) = (AC)/(AB)` (Tính chất ở hai tam giác đồng dạng)

hay `AE.AB = AC.AF`