a)

Ta có: $OA=OB=AB=R$

$\to \Delta OAB$ là tam giác đều

$\to \widehat{AOB}=60{}^\circ $

$\to $số đo cung nhỏ $\overset\frown{AB}=60{}^\circ $

$\widehat{MEN}$ là góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

$\to \widehat{MEN}=\dfrac{1}{2}\left( sd\,\overset\frown{MN}-sd\,\overset\frown{AB} \right)$

$\to \widehat{MEN}=\dfrac{1}{2}\left( 180{}^\circ -60{}^\circ  \right)=60{}^\circ $

b)

$\begin{cases}\Delta{MAN}\\\Delta{MBN}\end{cases}$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AB$ là đường kính

$\to\begin{cases}NA\bot EM\\MB\bot EN\end{cases}$

Xét tứ giác $EAHB$, ta có:

$\widehat{EAH}=\widehat{EBH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{EAH}+\widehat{EBH}=180{}^\circ $

$\to EAHB$ là tứ giác nội tiếp

c)

Kéo dài $EH$ cắt $MN$ tại $D$

Xét $\Delta EMN$ có:

$NA$ là đường cao thứ nhất

$MB$ là đường cao thứ hai

$NA$ cắt $MB$ tại $H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta EMN$

$\to EH$ là đường cao thứ ba

$\to EH\bot MN$ tại $D$

Xét $\Delta MHD$ và $\Delta MNB$, ta có:

$\widehat{BMN}$ là góc chung

$\widehat{MDH}=\widehat{MBN}=90{}^\circ $

$\to \Delta MHD\backsim\Delta MNB\,\,\,\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{MH}{MN}=\dfrac{MD}{MB}$

$\to MH.MB=MD.MN$

Xét $\Delta NHD$ và $\Delta NMA$, ta có:

$\widehat{ANM}$ là góc chung

$\widehat{NDH}=\widehat{NAM}=90{}^\circ $

$\to \Delta NHD\backsim\Delta NMA\,\,\,\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{NH}{NM}=\dfrac{ND}{NA}$

$\to NH.NA=ND.NM$

Ta vừa chứng minh được 2 ý như sau:

$\begin{cases}MH.MB=MD.MN\\NH.NA=ND.NM\end{cases}$

Cộng vế theo vế, ta được:

$\,\,\,\,\,\,\,MH.MB+NH.NA=MD.MN+ND.NM$

$\to MH.MB+NH.NA=MN\left( MD+ND \right)$

$\to MH.MB+NH.NA=MN.MN$

$\to MH.MB+NH.NA=M{{N}^{2}}$

$\to MH.MB+NH.NA={{\left( 2R \right)}^{2}}$

$\to MH.MB+NH.NA=4{{R}^{2}}$