a)

$AN=\dfrac{1}{2}AD$ ( vì $N$ là trung điểm $AD$ )

$BM=\dfrac{1}{2}AB$ ( vì $M$ là trung điểm $AB$ )

Mà $AD=AB$ ( vì $ABCD$ là hình vuông )

Nên $AN=BM$

Xét $\Delta ABN$ vuông tại $A$ và $\Delta BCM$ vuông tại $B$, ta có:

$AB=BC$ ( vì $ABCD$ là hình vuông )

$AN=BM\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \Delta ABN=\Delta BCM$ ( cạnh góc vuông – cạnh góc vuông )

$\to \widehat{ABN}=\widehat{BCM}$ ( hai góc tương ứng )

Mà $\widehat{ABN}+\widehat{PBC}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{BCM}+\widehat{PBC}=90{}^\circ $

Hay $\Delta PBC$ vuông tại $P$

$\to PB\bot PC$

$\to BN\bot CM$

b)

Xét $\Delta ABN$ vuông tại $A$ và $\Delta DEN$ vuông tại $D$, ta có:

$AN=DN$ ( vì $N$ là trung điểm $AD$ )

$\widehat{ANB}=\widehat{DNE}$ ( hai góc đối đỉnh )

$\to \Delta ABN=\Delta DEN$ ( cạnh góc vuông – góc nhọn )

$\to AB=DE$ ( hai cạnh tương ứng )

Mà $AB=DC$ ( vì $ABCD$ là hình vuông )

$\to DE=DC$

$\to D$ là trung điểm $EC$

Xét $\Delta PEC$ vuông tại $P$

Có $PD$ là đường trung tuyến

$\to CD=DP$

c)

$\Delta PDC$ có $MF\,\,||\,\,DC$

$\to \dfrac{PF}{PD}=\dfrac{MF}{CD}$ ( hệ quả định lý Ta – let )

$\Delta PDE$ có $BF\,\,||\,\,DE$

$\to \dfrac{PF}{PD}=\dfrac{BF}{ED}$ ( hệ quả định lý Ta – let )

$\to \dfrac{MF}{CD}=\dfrac{BF}{ED}$

Mà $CD=ED$ ( vì $D$ là trung điểm $EC$ )

Nên $MF=BF$

Hay $F$ là trung điểm $MB$