a)

Ta có: $\widehat{BAH}=\widehat{BAx}\,\,\,\left( gt \right)$

Mà: $\begin{cases}\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=90{}^\circ\\\widehat{BAx}+\widehat{CAy}=90{}\circ\end{cases}$

Nên: $\widehat{CAH}=\widehat{CAy}$

$\to AC$ là tia phân giác $\widehat{HAy}$

b)

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ và $\Delta ABH$ vuông tại $H$, ta có:

$AB$ là cạnh chung

$\widehat{BAD}=\widehat{BAH}$  ( vì $AB$ là tia phân giác $\widehat{HAx}$ )

$\to \Delta ABD=\Delta ABH$ ( cạnh huyền – góc nhọn )

$\to AD=AH$ ( hai cạnh tương ứng )

Xét $\Delta ACE$ vuông tại $E$ và $\Delta ACH$ vuông tại $H$, ta có:

$AC$ là cạnh chung

$\widehat{CAE}=\widehat{CAH}$ ( vì $AC$ là tia phân giác $\widehat{HAy}$ )

$\to \Delta ACE=\Delta ACH$ ( cạnh huyền – góc nhọn )

$\to AE=AH$ ( hai cạnh tương ứng )

Ta có: $\begin{cases}AD=AH\,\,\,\left(cmt\right)\\AE=AH\,\,\,\left(cmt\right)\end{cases}$

$\to AD=AE$

$\to A$ là trung điểm của $DE$

c)

Ta có: $\begin{cases}BD=BH\,\,\,\left(\Delta{ABD}=\Delta{ABH}\right)\\CE=CH\,\,\,\left(\Delta{ACE}=\Delta{ACH}\right)\end{cases}$

$\to BD+CE=BH+CH$

$\to BD+CE=BC$

d)

$AD=AH\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \Delta ADH$ cân tại $A$

$\to \widehat{ADH}=\widehat{AHD}$

$AE=AH\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \Delta AEH$ cân tại $A$

$\to \widehat{AEH}=\widehat{AHE}$

Ta có: $\begin{cases}\widehat{ADH}=\widehat{AHD}\,\,\,\left(cmt\right)\\\widehat{AEH}=\widehat{AHE}\,\,\,\left(cmt\right)\end{cases}$

$\to \widehat{ADH}+\widehat{AEH}=\widehat{AHD}+\widehat{AHE}$

$\to \widehat{ADH}+\widehat{AEH}=\widehat{DHE}$

Mà $\widehat{ADH}+\widehat{AEH}+\widehat{DHE}=180{}^\circ $ ( tổng ba góc của một tam giác )

Nên $\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=\widehat{DHE}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

Hay $\Delta HDE$ vuông tại $H$

$\to HD\bot HE$

Giải thích các bước giải:

1. a) Vì ^HAB + ^HAC = 90

^HAB + ^HBA = 90 (1)

=> ^^HAC = ^HBA

Ta có: ^CAy + ^BAx = 180 - 90 = 90

mà ^BAx = ^BAH

=> ^HAB + ^CAy = 90 (2)

từ (1) và (2) => ^HBA = ^CAy

<=> ^HAC = ^CAy => Ac là tia phân giác ^HAy

1. b) xét tam giác AHB = ADB ( cạnh huyền- góc nhọn)

=> BD = HB và AH = AD (3)

Xét tam giác ACE = ACH ( cạnh huyền-góc nhọn)

=> CE = CH và AH = AE (4)

=> BD + CE = BH + CH =BC

Từ (3) và (4) => AE = AD

=> A là trung điểm DE

1. c) Xét tam giác EHD có AH là đường trung tuyến ứng với một cạnh

mà AH = AE =BC/2

=> tam giác EHD vuông tại H

=> HD vuông góc HE