Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Bạn tự vẽ hình nhé

$a)$ Ta có: $∠HQA=∠HMA(1)$ ($2$ góc nội tiếp chắn cung $AH$ của $(O)$)

Do $AQ//MK(GT)⇒∠HQA=∠HKM(2)$ ($2$ góc đồng vị)

Từ $(1);(2)⇒∠HMA=∠HKM=∠HKN$

Thấy tứ giác $HAMN$ nội tiếp $⇒∠HAM+∠HNM=180^o(3)$

Ta có: $∠HNM+∠HNK=180^o(4)$ ($2$ góc kề bù)

Từ $(3);(4)⇒∠HAM=∠HNK$

Xét $ΔHMA$ và $ΔHKN$ có:

$∠HMA=∠HKN(cmt)$

$∠HAM=∠HNK(cmt)$

$⇒ΔHMAᔕΔHKN$ (góc - góc) (đpcm)

$b)$ Do $ΔHMAᔕΔHKN$ (câu $a$)

`⇒\frac{HM}{HK}=\frac{HA}{HN}⇒HM.HN=HK.HA(đpcm)`

$c)$ Thấy tứ giác $HQNM$ nội tiếp

$⇒∠HQM=∠HNM(5)$ ($2$ góc nội tiếp chắn cung $HM$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $HQNM$)

Do $AQ//MK(GT)⇒∠HEA=∠HNM(6)$ ($2$ góc đồng vị)

Từ $(5);(6)⇒∠HQM=∠HEA$

Ta có: $∠HAQ=∠HMQ=∠HAE$ ($2$ góc nội tiếp chắn cung $HQ$ của $(O)$)

Xét $ΔHEA$ và $ΔHQM$ có:

$∠HEA=∠HQM(cmt)$

$∠HAE=∠HMQ(cmt)$

$⇒ΔHEAᔕΔHMQ$ (góc - góc) (đpcm)

$d)$ Thấy tứ giác $HQNM$ nội tiếp $⇒∠HMN+∠HQN=180^o(7)$

Ta có: $∠HQN+∠KQN=180^o(8)$ ($2$ góc kề bù)

Từ $(7);(8)⇒∠HMN=∠KQN=∠HMK$

Xét $ΔKQN$ và $ΔKMH$ có:

$∠K$ chung

$∠KQN=∠KMH(cmt)$

$⇒ΔKQNᔕΔKMH$ (góc - góc)

`⇒\frac{KQ}{KM}=\frac{KN}{KH}⇒KQ.KH=KM.KN(đpcm)`