Đáp án:

$P=9$

$I=4$

Giải thích các bước giải:

Câu 35:

${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ là các vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$

Các điểm $A,B,C$ nằm trên đường tròn bán kính $R=1$

Như vậy $P=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}$

Đây là biểu thức đối xứng, nên GTLN hoặc GTNN sẽ xảy ra khi ba cạnh bằng nhau

Tức $\Delta ABC$ sẽ là tam giác đều

Với $R=1$ thì sẽ tính được $AB=BC=AC=\sqrt{3}$

Vậy $P_{\text{max}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}=9$

Câu 42:

$\int\limits_{1}^{9}{\dfrac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}dx=4}\,\,\,\,\,\left( * \right)$

Đặt $t=\sqrt{x}\to dt=\dfrac{dx}{2\sqrt{x}}\to \dfrac{dx}{\sqrt{x}}=2dt$

$\left( * \right)\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{3}{2f\left( t \right)}dt=4$

$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)dt}=2$

$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=2$

$\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos xdx}=2\,\,\,\,\,\left( ** \right)$

Đặt $t=\sin x\to dt=\cos xdx$

$\left( ** \right)\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=2$

$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2$

Vậy $I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=2+2=4$