Đáp án:

a) $\Delta ABC$ cân tại $A$ (gt)

$\Rightarrow AB=AC$ (hai cạnh bên bằng nhau).

$\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (hai góc đáy bằng nhau).

Mà $D\in AB\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{DBC}$.

Và $E\in AC\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{ECB}$.

Do $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$.

Mà $AD=AE$ nên $AB-AD=AC-AE\Rightarrow BD=CE$ 

Xét hai tam giác $\Delta BCD$ và $\Delta BCE$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}BD=CE\,\rm(cmt)\\\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\,\rm(cmt)\\BC\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\!\right\}\Delta BCD=\Delta BCE$ (c-g-c)

$\Rightarrow BE=CD$ (hai cạnh tương ứng).

b) $\Delta BCD=\Delta BCE$ (cmt)

$\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{CBE}$ (hai góc tương ứng).

Mà $M\in BE\Rightarrow\widehat{CBM}=\widehat{BCE}$

Và $M\in CD\Rightarrow\widehat{BCM}=\widehat{CBE}$

Do $\widehat{BCD}=\widehat{CBE}\Rightarrow\widehat{CBM}=\widehat{BCM}$

$\Rightarrow\Delta BCM$ cân tại $M$

$\Rightarrow BM=CM$ (hai cạnh bên bằng nhau).

Mà $BE=CD$ nên $BE-BM=CD-CM\Rightarrow ME=MD$.

Xét hai tam giác $\Delta BMD$ và $\Delta CME$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}BD=CE\,\rm(cmt)\\ME=MD\,\rm(cmt)\\BM=CM\,\rm(cmt)\end{array}\!\right\}\Delta BMD=\Delta CME$ (c-c-c).

c) Xét hai tam giác $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=AC\,\rm(cmt)\\BM=CM\,\rm(cmt)\\AM\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABM=\Delta ACM$ (c-c-c)

$\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow AM$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.