Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;AB = 5cm;AC = 12cm\\
 \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = 13cm
\end{array}$

Vậy $BC=13cm$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BAD} = \widehat {BHD} = {90^0}\\
BDchung\\
\widehat {ABD} = \widehat {HBD}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ABD = \Delta HBD\left( {ch - gn} \right)
\end{array}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABD = \Delta HBD\left( {ch - gn} \right)\\
 \Rightarrow AD = HD
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {DAK} = \widehat {DHC} = {90^0}\\
AD = HD\\
\widehat {ADK} = \widehat {HDC}\left( {dd} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ADK = \Delta HDC\left( {g.c.g} \right)\\
 \Rightarrow AK = HC\left( 1 \right)
\end{array}$

Lại có

$\begin{array}{l}
\Delta HDC;\widehat H = {90^0}\\
 \Rightarrow CD > HC\left( 2 \right)
\end{array}$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow AK < CD$

d) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABD = \Delta HBD\left( {ch - gn} \right)\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AD = HD\\
AB = HB
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow BD \text{là trung trực của AH}
\end{array}$