Đáp án:

$V = \dfrac{7\pi a^3\sqrt{42}}{27}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $O,\ O'$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của hai đáy

$\Rightarrow OO'$ là trục đường tròn ngoại tiếp hai đáy

$\Rightarrow \begin{cases}OO' = AA' = a\sqrt2\\OA = OB = OC = \dfrac12AC\end{cases}$

Ta có:

$\cos A = \dfrac{AB}{AC}$

$\Rightarrow AC = \dfrac{AB}{\cos A} = \dfrac{a\sqrt2}{\cos30^\circ} = \dfrac{2a\sqrt2}{\sqrt3}$

$\Rightarrow OB = \dfrac12AC = \dfrac{a\sqrt2}{\sqrt3}$

Gọi $I$ là trung điểm $OO'$

$\Rightarrow \begin{cases}OI = O'I = \dfrac12OO' = \dfrac{a\sqrt2}{2}\\IA = IB = IC = IA' = IB' = IC'\end{cases}$

$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$IB^2 = IO^2 + OB^2$

$\Rightarrow R = IB = \sqrt{OI^2 + OB^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{2} + \dfrac{2a^2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{42}}{6}$

Khi đó:

$V = \dfrac43\pi R^3 = \dfrac43\cdot \pi\cdot \left(\dfrac{a\sqrt{42}}{6}\right)^3 = \dfrac{7\pi a^3\sqrt{42}}{27}$