....

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Bạn tự vẽ hình nhé.

$a)$ Do $EI;FK$ là đường cao $ΔDEF$

$⇒\begin{cases}EI⊥DF\\FK⊥DE\end{cases}⇒\begin{cases}∠DIE=∠EIF=∠DIM=90^o\\∠DKF=∠EKF=∠DKM=90^o\end{cases}$

Xét tứ giác $DKMI$ có $∠DKM+∠DIM=90^o+90^o=180^o$

$⇒$ Tứ giác $DKMI$ nội tiếp (Tứ giác có tổng $2$ góc đối bằng $180^o$) (đpcm)

Xét tứ giác $EKIF$ có $∠EKF=∠EIF=90^o$

$⇒$ Tứ giác $DKMI$ nội tiếp (Tứ giác có $2$ đỉnh nhìn cạnh chứa $2$ đỉnh còn lại dưới $1$ góc vuông) (đpcm)

$b)$ Xét $ΔDIE$ và $ΔDKF$ có:

$∠DIE=∠DKF=90^o$

$∠EDF$ chung

$⇒ΔDIEᔕΔDKF$ (góc - góc)

`⇒\frac{DI}{DK}=\frac{DE}{DF}`

$⇒DI.DF=DK.DE(đpcm)$

$c)$ Ta có: $OD=OE=OF$ (do $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp $ΔDEF$)

$⇒ΔODE;ΔODF;ΔOEF$ cân tại $O$

$⇒\begin{cases}∠ODE=∠OED\\∠ODF=∠OFD\\∠OEF=∠OFE\end{cases}$

Xét $ΔODF$ có:

$∠DOF+∠ODF+∠OFD=180^o$ (tổng $3$ góc $1$ tam giác)

$⇔∠DOF+2∠DFO=180^o⇔∠DOF=180^o-2∠DFO$

Xét $ΔOEF$ có:

$∠EOF+∠OEF+∠OFE=180^o$ (tổng $3$ góc $1$ tam giác)

$⇔∠EOF+2∠EFO=180^o⇔∠EOF=180^o-2∠EFO$

Do tứ giác $EKIF$ nội tiếp $⇒∠EKI+∠EFI=180^o$

Mà $∠EKI+∠DKN=180^o$ ($2$ góc kề bù) $⇒∠DKN=∠EFI=∠EFD$

Xét $ΔODE$ có:

$∠DOE+∠ODE+∠OED=180^o$ (tổng $3$ góc $1$ tam giác)

`⇔∠DOE+2∠KDN=180^o⇔∠KDN=\frac{180^o-∠DOE}{2}`

`⇔∠KDN=\frac{180^o-(360^o-∠FOE-∠DOF)}{2}=\frac{∠FOE+∠DOF-180^o}{2}`

`=\frac{180^o-2∠EFO+180^o-2∠EFO-180^o}{2}=\frac{180^o-2∠EFD}{2}` 

$=90^o-∠EFD=90^o-∠DKN$

$⇒∠KDN+∠DKN=90^o$

Xét $ΔKDN$ có:

$∠KDN+∠DKN+∠KND=180^o$ (tổng $3$ góc $1$ tam giác)

$⇔90^o+∠KND=180^o⇔∠KND=90^o$

$⇒KI⊥DO(đpcm)$