Đáp án+Giải thích các bước giải:

 `a` Xét `\triangleABC` vuông tại `A`, Ta có hệ thức lượng

`BC\sin(ACB)=AB`

`<=>2a\sin(30)=AB`

`<=>AB=a`

Lại có : `BCcos(ACB)=AC`

`<=>AC=2a\cos(30)= sqrt3 a`

`b)` Ta có : `AM=frac{1}{2}AC=frac{sqrt3}{2}a`

Xét `\triangleABM` vuông tại `A`, Có

`AM^2+AB^2=BM^2`

`<=>frac{3}{4}a^2+a^2=BM^2`

`<=>frac{7}{4}a^2=BM^2`

`<=>BM=frac{sqrt7}{2}a`

`c)` Vì `G` là giao của 2 đường trung tuyến `BM,AO`

`=>CN` là đường trung tuyến trong  `\triangleABM`

`=>frac{CG}{NC}=frac{2}{3}`

Ta có : `AN=frac{1}{2}AB=frac{a}{2}`

Xét `\triangleANC` vuông tại `A `. có

`NC^2=AN^2+AC^2=frac{a^2}{4}+3a^2=frac{13}{4}a^2`

`<=>NC=frac{sqrt{13}}{2}a`

`=>GC=frac{2}{3}NC=frac{sqrt{13}}{3}a`

`d)` Xét `\triangleAHO` , Cho `HF` là đường cao; `HI` là đường trung tuyến

`=>S_{AHO}=frac{1}{2}HF.AO`

Mà `HF \le HI=frac{1}{2}AO` ( `AO` cố định )

`=>S_{AHO} \le frac{1}{2}HI.AO=frac{1}{4}AO^2`

Dấu `=` xảy ra `<=>HF=HI`

hay `F` trung `I`

`<=>\triangleAHO` vuông cân tại `H`

Xét `\triangleAHO` vuông tại `H` Có

`AO^2=AH^2+HO^2`

`<=>AO^2=2AH^2`

`<=>sqrt2AH=AO=frac{BC}{2}`

`<=>AH=frac{BC}{2sqrt2}`

Lại có : `AH.BC=AB.AC`

`<=>BC^2=2sqrt2AB.AC`

`<=>AB^2+AC^2=2sqrt2AB.AC`

`<=>AB^2-2sqrt2AB.AC+2AC^2=AC^2`

`<=>(AB-sqrt2AC)^2=AC^2`

`<=>` $\left[\begin{matrix} AB-\sqrt2AC=AC\\ AB-\sqrt2AC=-AC\end{matrix}\right.$

`<=>` $\left[\begin{matrix} AB=AC(1+\sqrt2)\\ AB=AC(\sqrt2-1)\end{matrix}\right.$

Để `S_{AHO}` lớn nhất thì $\left[\begin{matrix} AB=AC(1+\sqrt2)\\ AB=AC(\sqrt2-1)\end{matrix}\right.$

`e)` Xét `\triangleABC`  , có 

`AN=BN;BO=OC;AM=MC`

`=>NO // AC;OM // AB`

`=>AMON` là hình chữ nhật

Ta có : `S_{AMON}=AM.AN=frac{1}{4}AB.AC=frac{1}{2}S_{ABC}`

`<=>S_{AMON}=frac{1}{4}AH.BC`

Mà `AH \le AO= frac{1}{2}BC`

`<=>S_{AMON} \le frac{1}{8}BC^2`

Dấu `=` xảy ra `<=>AH=AO`

Hay `\triangleABC`  vuông cân tại `A`