Lời giải:

a) Gọi $F$ là giao điểm giữa $BD$ và $AE$

Xét $\triangle ACE$ và $\triangle DCB$ có:

$\begin{cases}CA = CD\quad (gt)\\CE = CB\quad (gt)\\\widehat{ACE} = \widehat{DCB} = 90^\circ\end{cases}$

Do đó $\triangle ACE = \triangle DCB\ (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{EAC} = \widehat{BDC}$ (hai góc tương ứng)

mà $\widehat{BDC} = \widehat{ADF}$ (đối đỉnh)

nên $\widehat{EAC} = \widehat{ADF}$

Ta lại có: $\widehat{EAC} + \widehat{AEC} = 90^\circ\quad (\triangle ACE$ vuông tại $C)$

$\Leftrightarrow \widehat{ADF} + \widehat{AEC} = 90^\circ$

$\Leftrightarrow \widehat{AFD} = 90^\circ$

Hay $AE\perp BD$

b) Ta có:

$AM = ME = \dfrac12AE\quad (gt)$

$\Rightarrow S_{CME} = \dfrac12S_{ACE} = \dfrac12AC.CE = \dfrac12AC.BC$

$BN = ND = \dfrac12BD\quad (gt)$

$\Rightarrow S_{CND} = \dfrac12S_{BCD} = \dfrac12BC.CD = \dfrac12BC.AC$

Ta được:

$S_{CMEDN} = S_{CME} + S_{CND} = AC.BC$

Giả sử $AC < \dfrac12AB$

Gọi $O$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow \begin{cases}AC = AO - OC\\BC = BO + OC = AO + OC\end{cases}$

$\Rightarrow AC.BC = (AO - OC)(AO + OC) = AO^2 -OC^2$

Do đó:

$S_{CMEDN} = AO^2 - OC^2 \leqslant AO^2$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow OC = 0 \Leftrightarrow C\equiv O$

hay $C$ là trung điểm $AB$

c) Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu của $M,N$ lên $AB$

$\Rightarrow MNKH$ là hình thang vuông tại $H,K; MH,NK$ lần lượt là khoảng cách từ $M,N$ đến $AB$

Gọi $d(I,AB)$ là khoảng cách từ $I$ đến $AB$

Do $I$ là trung điểm $MN$

nên $d(I,AB) = \dfrac12(d(M,AB) + d(N,AB)) = \dfrac12(MH + NK)$ (tính chất đường trung bình của hình thang)

Ta lại có:

$\begin{cases}MH//CE\quad (\perp AB)\\AM = ME = \dfrac12AE\end{cases}$

$\Rightarrow MH = \dfrac12CE = \dfrac12BC$

$\begin{cases}NK // CD\quad (\perp AB)\\BN = ND = \dfrac12BD\end{cases}$

$\Rightarrow NK = \dfrac12CD = \dfrac12AC$

Do đó:

$d(I,AB) = \dfrac12\left(\dfrac12BC + \dfrac12AC\right) = \dfrac14AB$

Do $AB$ không đổi

nên $d(I,AB)$ không đổi

Vậy khoảng cách từ $I$ đến $AB$ không phụ thuộc vào vị trí điểm $C$