$ a)BE \cap CF = H \\ $

b) Xét $\Delta AFC $ và $\Delta AEB$, ta có:

$\widehat {AFC} = \widehat {AEB}( = {90^ \circ })$

$\widehat A$ là góc chung

$\Rightarrow \Delta AFC \sim \Delta AEB(g - g)$

$ \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{AE}} = \dfrac{{AC}}{{AB}} \\ \Rightarrow AF.AB = AC.AE \\ $

c) Xét $\Delta AEF $ và $ \Delta ABC$, ta có:

$\dfrac{{AF}}{{AE}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}$

$\widehat A$ là góc chung

$ \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ABC(c - g - c)$

Ta có: $\Delta AFD $ và $ \Delta BCA$ không đồng dạng được

d) Xét $\Delta BFC $ và $ \Delta BDA$, ta có:

$\widehat {BFC} = \widehat {BDA}( = {90^ \circ })$

$\widehat B$ là góc chung

$ \Rightarrow \Delta BFC \sim \Delta BDA(g - g)$

$ \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{BD}} = \dfrac{{BC}}{{BA}}$

Xét $\Delta BFD $ và $ \Delta BCA$, ta có:

$\dfrac{{BF}}{{BD}} = \dfrac{{BC}}{{BA}}$

$\widehat B$ là góc chung

$\Rightarrow \Delta BFD \sim \Delta BCA(c - g - c)$

$ \Rightarrow \widehat {BFD} = \widehat {BCA} \\ \widehat {DCA} + \widehat {DAC} = {90^ \circ } \\ \widehat {BFD} + \widehat {DFC} = {90^ \circ } \\ \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {DFC} \\ $

$ \Delta HEA \sim \Delta HDB(g - g) \\ \Rightarrow \widehat {HBC} = \widehat {DAC} \\ \Rightarrow \widehat {DFC} = \widehat {HBC} \\ $

Xét $\Delta CFD $ và $ \Delta CBH$, ta có:

$ \widehat {DFC} = \widehat {HBC} \\ \widehat {HCB} \\ $

$ \Rightarrow \Delta CFD \sim \Delta CBH(g - g)$