Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Do tổng của 5 số bất kì trong 81 số nguyên đã cho là một số nguyên dương . Suy ra trong 81 số đó có ít nhất 1 số nguyên dương , vì nếu không thì tất cả 81 số đã cho đều không dương nên tổng của 5 số  bất kì là số không dương . Trái với đề bài . Tách số nguyên dương đó ra , còn lại 80 số 

Ta chia 80 số đó thành 16 nhóm mỗi nhóm có 5 số . Theo đề bài thì tổng mỗi nhóm là số nguyên dương nên tổng của tất cả các số trong 16 nhóm là một nguyên dương . Do đó tổng của 81 số nguyên đã cho là một số nguyên dương  

Giả sử trong $81$ số nguyên đã cho có a số nguyên âm.

​Ta thấy $a ≤ 4$ (vì nếu $a ≥ 5$ thì tổng của 5 số nguyên âm sẽ là một số nguyên âm. Điều này trái với đề bài là tổng của 5 số bất kỳ là một số dương). Lấy ra a số nguyên âm này và $(5-a)$ số nguyên dương thì sẽ tạo ra nhóm gồm 5 số và tổng của $5$ số này là số dương (gọi là x)

​ Còn lại số nguyên là: $81-5=76$ số nguyên và tổng của của chúng là số dương (gọi là y)

​ Vì $x>0$ và $y>0$ $=> x+y>0$

=> Tổng của $81$ số đã cho là một số dương.

​