Gọi $D$ là giao điểm $NE$ và $CC'$

Gọi $F$ là giao điểm $NE$ và $AC$

Gọi $G$ là giao điểm $FM$ và $BC$

Gọi $H$ là giao điểm $DG$ và $B'C'$

Vậy diện tích thiết diện cần tìm là ${{S}_{MNEHG}}$

${{S}_{MNEHG}}={{S}_{\Delta DFG}}-{{S}_{\Delta DEH}}-{{S}_{\Delta NFM}}$

Gọi $I$ là trung điểm $AC$

Ta có ba tam giác bằng nhau:

$\Delta DC'E=\Delta NA'E=\Delta NAF$

$\to\begin{cases} C'E=A'E=AF=\dfrac{a}{2}\\DC'=NA'=NA=\dfrac{a}{2}\end{cases}$

$AF=AM=\dfrac{a}{2}\to \Delta AFM$ cân tại $A$

Có $\widehat{FAM}=120{}^\circ $

$\to \widehat{AFM}=30{}^\circ $

$\Delta FCG$ có $\widehat{AFM}+\widehat{GCF}=30{}^\circ +60{}^\circ =90{}^\circ $

$\to \Delta FCG$ vuông tại $G$

$\to FG\bot CG$

$\to FG\bot \left( DCG \right)$

$\to FG\bot DG$

$\to {{S}_{\Delta DFG}}=\dfrac{1}{2}FG.DG$

$\Delta BGM$ có $\widehat{B}=60{}^\circ \,\,;\,\,\widehat{M}=30{}^\circ \,\,;\,\,\widehat{G}=90{}^\circ $

Cạnh đối diện góc $30{}^\circ $ bằng một nữa cạnh huyền

Tức là $BG=\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{a}{4}$

$\to CG=\dfrac{3a}{4}$

$DG=\sqrt{C{{G}^{2}}+C{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{3a}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{3a\sqrt{5}}{4}$

Vì đã có 3 tam giác bằng nhau

$\to DE=NE=NF$

$\to DF=3DE$

$\to DF=3.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$

$GF=\sqrt{D{{G}^{2}}-D{{F}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{3a\sqrt{5}}{4} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{3a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{3a\sqrt{3}}{4}$

Vậy${{S}_{\Delta DFG}}=\dfrac{1}{2}FG.DG=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3a\sqrt{3}}{4}.\dfrac{3a\sqrt{5}}{4}=\dfrac{9{{a}^{2}}\sqrt{15}}{32}$

Ta thấy như sau:

$C'H\,\,||\,\,CG$

$\to \dfrac{DH}{DG}=\dfrac{DC'}{DC}=\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{{{S}_{\Delta DEH}}}{{{S}_{\Delta DFG}}}=\dfrac{DE}{DF}.\dfrac{DH}{DG}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}\to {{S}_{\Delta DEH}}=\dfrac{1}{9}{{S}_{\Delta DFG}}$

$IM\,\,||\,CB$ ( đường trung bình )

$\to \dfrac{FM}{FG}=\dfrac{FI}{FC}=\dfrac{2}{3}$

Ta có:

$\dfrac{{{S}_{\Delta NFM}}}{{{S}_{\Delta DFG}}}=\dfrac{FN}{FD}.\dfrac{FM}{FG}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}\to {{S}_{\Delta NFM}}=\dfrac{2}{9}{{S}_{\Delta DFG}}$

Như vậy diện tích thiết diện cần tìm là:

${{S}_{MNEHG}}={{S}_{\Delta DFG}}-{{S}_{\Delta DEH}}-{{S}_{\Delta NFM}}$

${{S}_{MNEHG}}={{S}_{\Delta DFG}}-\dfrac{1}{9}{{S}_{\Delta DFG}}-\dfrac{2}{9}{{S}_{\Delta DFG}}$

${{S}_{MNEHG}}=\dfrac{2}{3}{{S}_{\Delta DFG}}$

${{S}_{MNEHG}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{9{{a}^{2}}\sqrt{15}}{32}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{15}}{16}$