Câu 3:

Gọi số cây mà mỗi em học sinh lớp 8 trồng được là: $x$ (cây) ($x>0$)

Gọi số cây mà mỗi em học sinh lớp 9 trồng được là: $y$ (cây) ($y>1$)

Vì học sinh trồng được tất cả  $570$ cây, nên ta có phương trình:

$120x+110y=570 (1)$

Vì mỗi em học sinh lớp 9 trồng nhiều hơn mỗi em học sinh lớp 8 là 1 cây, nên ta có phương trình: 

$y-x=1(2)$

Từ $(1)(2)$, ta có hệ phương trình

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {120{\text{x}} + 110y = 570} \\ {y - x = 1} \end{array}} \right. \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2} \\ {y = 3} \end{array}(TM)} \right. \\ $

Vậy số cây mà mỗi em học sinh lớp 9 trồng được là: 3 cây

Số cây mà mỗi em học sinh lớp 8 trồng được là: 2 cây

Câu 4:

a) Vì $AN$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

$ \Rightarrow AN \bot ON \\ \Rightarrow \widehat {AN{\text{O}}} = {90^ \circ } \\ $

Vì $AM$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

$ \Rightarrow AM \bot MO \\ \Rightarrow \widehat {AM{\text{O}}} = {90^ \circ } \\ $

Xét tứ giác $ANOM$, ta có:

$\widehat {AN{\text{O}}}+\widehat {AM{\text{O}}}={90^ \circ }+{90^ \circ }={180^ \circ }$

Vậy tứ giác $ANOM$ nội tiếp

b) Ta có tứ giác $MIOA$ nội tiếp ( do $\widehat {OI{\text{A}}} = \widehat {AM{\text{O}}} = {90^ \circ }$, hai goc nội tiếp chắn cùng 1 cung $AO$)

$ \Rightarrow \widehat {OMI} = \widehat {OAI}(1) \\ \widehat {OAI} + \widehat {AOI} = {90^ \circ }(2) \\ $

Vì $AN; AM$ là hai tiếp tuyến cắt nhau

$\Rightarrow AO $ là trung trực của $MN$

$ \Rightarrow AO \bot MN \\ \Rightarrow \widehat {MHO} + \widehat {AOI} = {90^ \circ }(3) \\ (1)(2)(3) \Rightarrow \widehat {OMI} = \widehat {MHO} \\ $

Xét $\Delta OMI $ và $\Delta OHM$, ta có:

$\widehat {OMI} = \widehat {MHO}$

$\widehat O$ là góc chung

$\Rightarrow \Delta OMI \sim \Delta OHM(g - g)$

$ \Rightarrow \frac{{OI}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{OH}} \\ \Rightarrow OI.OH = O{M^2} = {R^2} \\ $

c) Gọi $ T = MN \cap AO \\ \Delta AMB \sim \Delta ACM(g - g) \\ \Rightarrow AB.AC = A{M^2} \\ $

$ETIO$ là tứ giác nội tiếp

$ \Rightarrow \Delta AT{\text{E}} \sim \Delta AI{\text{O(g - g)}} \\ \Rightarrow {\text{AE}}.AI = AT.AO = A{M^2} \\ \Rightarrow AB.AC = {\text{AE}}.AI \\ $

Vì $A; B; C; I$ cố định, nên $AE$ là hằng số

Mặt khác $E$ thuộc $BC$ cố định nên $E$ cố định 

Vậy $MN$ luôn đi qua $E$ cố định