Đáp án

`1)` Xét tứ giác `AOMC` có:

`hat{ACO}=90^o` (do `AC` là tiếp tuyến của đường tròn `(O)`)

`hat{OMC}=90^o` (do `MC` là tiếp tuyến của đường tròn `(O)`)

`=>hat{ACO} + hat{OMC}=90^o + 90^o=180^o`.

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau `=>` tứ giác `AOMC` là tứ giác nội tiếp.

Tương tự, ta cũng chứng minh được tứ giác `BOMD` là tứ giác nội tiếp.

`2)` Xét `Δ` vuông `OBD` có:

`tan hat{BDO}={OB}/{BD}={R}/{3\sqrt{3}R}=1/{3\sqrt{3}}.`

`=>hat{BDO} = 30^o`

Mà `hat{OBD} +hat{BDO}+hat{DOB}=180^o` (tổng ba góc trong một tam giác)

`=>hat{DOB}=60^o`

Ta có: `MD, BD` là hai tiếp tuyến cắt nhau

`=>OD` là phân giác của `hat{MOB}`

`=>hat{MOB}=2.hat{DOB}=2.60^o=120^o`

Mà `hat{MOB}=sđ`$\stackrel\frown{MB}$ (góc ở tâm chắn cung `MB`)

Lại có: `hat{MAO}=1/2sđ`$\stackrel\frown{MB}$ (góc nội tiếp chắn cung `MB`)

Thay số: `hat{MAO}=1/2 . 120^o=60^o` `(1)`

Ta có: `OM=OA=R=>ΔMOA` cân tại `O.`  `(2)`

Từ `(1)` và `(2)=>ΔMOA` là tam giác đều `=>OM=OA=AM=R.`

Vậy khi `BD=3\sqrt{3}R` thì `AM=R.`

`c)` Dễ chứng minh được `AM` là trung trực của `OC`

`=>hat{MEO}=90^o`

Tương tự `hat{MFO}=90^o`

Lại có: `hat{AMB}=90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>MEOF` là hình chữ nhật.

`=>hat{EOF}=90^o`.

Gọi `K` là giao điểm của `MO` và `EF.`

`=> MK=KO=EK=KF ` (tính chất đường chéo hình chữ nhật)

Dễ chứng minh `OC` là trung trực của `AM`.

`=>EA=EM`

Xét `ΔMAO` có:

`EA=EM`

`MK=KO`

`=>EK` là đường trung bình của `ΔMAO`

`=>EK` $//AO$

Gọi giao điểm của đường cao `AN` với `EF` là `H`

Có: `MN⊥AO,EK` $//AO$

`=>MH⊥EF`  `(3)`

Xét `ΔMNA` có:

`EA=EM`

`EH` $//AN$

`=>MH=HN` `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` `=>EK` là trung trực của `MN`

hay `EF` là trung trực của `MN=>EM=EN,MF=FN`

Dễ chứng minh được: `ΔNEF=ΔMEF(c.c.c)`

`=>hat{ENF}=hat{EMF}=90^o`

`=>hat{ENF}+hat{EMF}= 90^o + 90^o=180^o`.

Mà hai góc ở vị trí đối nhau

`=>EMFN` là tứ giác nội tiếp `(5)`

Lại có: `MEOF` là hình chữ nhật  `(6)`

Từ `(5)` và `(6)=>E,M,F,O,N` nằm trên một đường tròn.

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác `NEF` luôn đi qua 1 điểm cố định là tâm `O` của đường tròn `(O)` đường kính `AB`.

___________________________________

Bạn tự chứng minh:

Hai tiếp tuyến `AC` và `CM` của đường tròn `(O)` đường kính `AB` cắt nhau tại một điểm `C` thì `OC` là đường trung trực của `AM.`

____________________________________

Hình tham khảo.