*Hình bên dưới*

a, Ta có : AB = AC = 5cm (gt) 

⇒ △ABC cân tại A

⇒ ∠ABC = ∠ACB

Xét △AIB và △AIC có :

AB = AC (gt)

∠ABC = ∠ACB (cmt)

IB = IC (do I là trung điểm BC)

⇒ △AIB = △AIC (c.g.c) (đpcm)

b, _CM AI ⊥ BC :

Ta có : △AIB = △AIC (cmt) 

⇒ ∠AIB = ∠AIC (hai góc tương ứng)

mà ∠AIB + ∠AIC = 180 độ (kề bù)

nên ⇒ ∠AIB = ∠AIC = $\frac{180}{2}$ = 90 độ 

⇒ AI ⊥ BC (đpcm)

_Tính độ dài đoạn AI :

Ta có : IB = IC (I là trung điểm BC) mà BC = 6cm (gt)

⇒ IB = IC = 6 : 2 = 3cm

Áp dụng định lí Py-ta-go trong △ vuông AIB :

$AB^{2}$ = $AI^{2}$ + $IB^{2}$ 

⇒ $AI^{2}$ = $AB^{2}$ - $IB^{2}$ 

⇒ $AI^{2}$ = $5^{2}$ - $3^{2}$ 

      =      16

⇒ AI = 4cm (đpcm)

c, △AIB = △AIC (cmt) 

⇒ ∠BAI = ∠CAI (hai góc tương ứng)

Xét △AMI và △ANI có :

∠BAI = ∠CAI (hay ∠MAI = ∠NAI) (cmt)

∠AMI = ∠ANI = 90 độ 

AI chung 

⇒ △AMI = △ANI (ch-gn)

⇒ IM = IN (hai cạnh tương ứng)

⇒ △IMN là △ cân (đpcm)

*Câu c mình không chắc lắm :(