a/ 

I là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kình BH = > BIH = 90 => BI ⊥ IH hay AB ⊥ HI tại I =>AIH = 90 (1)

 K là góc nt chắn nửa đường tròn đường kính HC= >HKC = 90 => HK⊥KC hay AC ⊥ HK tại K =>  HKA = 90 (2)
Có ΔABC vuông tại A (gt) = > BAC = 90 hay IAK = 90 (3)

Từ 1,2,3 => IHKA là HCN

b/

Trong ΔAHK và ΔAHC có
 chung (gt)  (a)
AHC = AHK = 90 (làm tắt: AH đường cao, HK⊥CK (cmt)) (b)

 Từ (a,b) = > Δ AHK đồng dạng Δ ACH (g.g)
=> HCA = AHK (c)
Có: IHKA là HCN (cmt) => HIA = HKA = 90 = > HIA + HKA = 180 => IHKA là tứ giác nội tiếp
=> AIK =AHK (cùng chắn AK) (d)
từ (c,d) => HCA = AIK
mà HCA là góc ngoài tại đỉnh I,  I đối C
=> BIKC là TGNT
c/

M là giao điểm của IK và AH
Có O1I = O1H ( làm tắt = R của O1)
Có AIHK là HCN(cmt) có M là giao điểm của 2 đường chéo IK và AH => IM=MH

Trong ΔIO1M và Δ HO1M  có:
IO1 = HO1 (cmt)
IM=MH
O1M là cạnh chung
=> ΔIO1M = Δ HO1M
=> O1IM= O1HM mà O1HM = 90 (làm tắt)
=> O1IM = 90

=>IK là tiếp tuyến của (O1) tại I

Tương tự: IK là tiếp tuyến tại (O2) tại K (làm tắt, tương tự như trên)
=> IK là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn