Đáp án: 

Điều kiện xác định: $a \geq 0$; a$a \neq 1$ 

 1. 

$A = \dfrac{2}{a - 1} - \dfrac{1}{\sqrt{a} - 1} = \dfrac{2 - (\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} = \dfrac{2 - \sqrt{a} - 1}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} = \dfrac{1 - \sqrt{a}}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} = \dfrac{-(\sqrt{a} - 1)}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} = \dfrac{- 1}{\sqrt{a} + 1}$ 

2. 

$a = 3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 + 2.\sqrt{2}.1 + 1^2 = (\sqrt{2} + 1)^2$ 

Khi đó: 

$B = \dfrac{a + \sqrt{a}}{a - 1} = \dfrac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} - 1)} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}$ 

$B = \dfrac{\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2}}{\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} - 1} =$$ \dfrac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1 - 1} =$$ \dfrac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$ 

3. 

$P = \dfrac{B}{A} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} : \dfrac{- 1}{\sqrt{a} + 1} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} . \dfrac{\sqrt{a} + 1}{- 1} = - \dfrac{- \sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} - 1} = \dfrac{- a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}$

$\dfrac{B}{A} > - 1 \Rightarrow \dfrac{- a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} + 1 > 0$

$\Rightarrow \dfrac{- a - \sqrt{a} + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 1} > 0$

$\Rightarrow \dfrac{- (a + 1)}{\sqrt{a} - 1} > 0$ 

Vì $a + 1 > 0$ với mọi giá trị của $a$ thỏa mãn điều kiện xác định nên 

$- (a + 1) < 0$ với mọi giá trị của $a$ thỏa mãn điều kiện xác định. 

Do đó: 

$\dfrac{B}{A} > - 1$ khi $\sqrt{a} - 1 < 0 \Rightarrow \sqrt{a} < 1 \Rightarrow a < 1$ 

Kết hợp với điều kiện xác định suy ra: 

$\dfrac{B}{A} > - 1$ khi $0 < a < 1$ 

Vậy  giá trị nguyên của $a$ để $\dfrac{B}{A} > - 1$ là $a = 0$

Giải thích các bước giải:

`1)` Điều kiện xác định : `a` $\geq$ `0` và `a` $\neq$ `1`

`A=2/(a-1)-1/(\sqrt{a}-1)`

`=2/((\sqrt{a}-1).(\sqrt{a}+1))-1/(\sqrt{a}-1)`

`=2/((\sqrt{a}-1).(\sqrt{a}+1))-(\sqrt{a}+1)/((\sqrt{a}-1).(\sqrt{a}+1))`

`=(2-\sqrt{a}-1)/((\sqrt{a}-1).(\sqrt{a}+1))`

`=(1-\sqrt{a})/((\sqrt{a}-1).(\sqrt{a}+1))`

`=-(\sqrt{a}-1)/((\sqrt{a}-1).(\sqrt{a}+1))`

`=-1/(\sqrt{a}+1)`

`2)` Điều kiện xác định : `a` $\geq$ `0` và `a` $\neq$ `1`

Rút gọn `B:` 

`(a+\sqrt{a})/(a-1)`

`=(\sqrt{a}.(\sqrt{a}+1))/((\sqrt{a}-1).(\sqrt{a}+1))`

`=\sqrt{a}/(\sqrt{a}-1)`

Biến đổi :

`a=3+2\sqrt{2}`

`=(\sqrt{2})^2+2.\sqrt{2}.1+1^2`

`=(\sqrt{2}+1)^2`

Thay `a=(\sqrt{2}+1)^2` vào biểu thức `B` đã rút gọn ta được :

`=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}/(\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}-1)`

`=|\sqrt{2}+1|/(|\sqrt{2}+1|-1)`

`=(\sqrt{2}+1)/(\sqrt{2}+1-1)`

`=(\sqrt{2}+1)/\sqrt{2}`

`3)` Để `B/A > -1<=>((\sqrt{a})/(\sqrt{a}+1))/(-1/(\sqrt{a}+1)) > -1`

`<=>((\sqrt{a})/(\sqrt{a}-1):-1/(\sqrt{a}+1)) > -1`

`<=>((\sqrt{a})/(\sqrt{a}-1).((\sqrt{a}+1))/-1) > -1`

`<=>(-a-\sqrt{a})/(\sqrt{a}-1) > -1`

`<=>(-a-\sqrt{a})/(\sqrt{a}-1) +1 > 0`

`<=>(-a-\sqrt{a})/(\sqrt{a}-1) + (\sqrt{a}-1)/(\sqrt{a}-1)> 0`

`<=>(-(a+1))/(\sqrt{a}-1)>0`

Mà `a+1>0` `AAa` vì `a` $\geq$ `0`

`=>-(a+1)<0` `AAa` vì `a` $\geq$ `0`

Vì `-(a+1)<0` `AAa`

Nên để `B/A < -1` thì : 

`\sqrt{a}-1>0`

`<=>\sqrt{a}>1`

`<=>a>1`

Kết hợp điều kiện xác định ta có :

`0` $\leq$ `a<1`

Vậy giá trị nguyên của `a` để `B/A> -1` là `a=0`