Đáp án:

$S_{ABCD}=\dfrac{50}{3}\ cm^2$

Giải thích các bước giải:

Từ $B$ kẻ $BH\perp CD$

$\Rightarrow BH = 4\ cm$

Kẻ $BM//AC$ cắt $CD$ tại $M$

Xét tứ giác $ABMC$ có:

$AB//CM\quad (AB//CD;\ M\in CD)$

$AC//BM$ (cách dựng)

Do đó $ABMC$ là hình bình hành

$\Rightarrow AB = CM$

Ta lại có:

$AC\perp BD\quad (gt)$

$AC//BM$

$\Rightarrow BD\perp BM$

$\Rightarrow \triangle BMD$ vuông tại $B$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle BMD$ vuông tại $M$, đường cao $BH$ ta được:

$\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{BD^2} + \dfrac{1}{BM^2}$

$\Rightarrow BM =\dfrac{BD.BH}{\sqrt{BD^2 - BH^2}} = \dfrac{5.4}{\sqrt{5^2 - 4^2}}$

$\Rightarrow BM = \dfrac{20}{3}\ cm$

Khi đó:

$\quad S_{BMD}=\dfrac12BD.BM = \dfrac12BH.DM$

$\Leftrightarrow \dfrac12BD.BM = \dfrac12BH(DC + CM)$

$\Leftrightarrow \dfrac12BD.BM = \dfrac12BH(DC + AB)$

$\Leftrightarrow \dfrac12BD.BM = S_{ABCD}$

$\Leftrightarrow S_{ABCD}=\dfrac12\cdot 5\cdot \dfrac{20}{3}$

$\Leftrightarrow S_{ABCD}=\dfrac{50}{3}\ cm^2$