Đáp án:

 Giải thích các bước giải:

 Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức `a^2/x + b^2/y \ge {(a+b)^2}/{x+y} (x,y>0)` `(1)`

`<=> {a^2y +b^2x}/{xy} \ge {(a+b)^2}/{x+y}`

`<=> (a^2y+b^2x)(x+y) \ge (a+b)^2xy`

`<=> a^2xy + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2xy \ge (a^2+2ab+b^2)xy`

`<=> a^2xy + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2xy \ge a^2xy + 2abxy+b^2xy`

`<=> a^2y^2 - 2ay . bx + b^2x^2\ge0`

`<=> (ay-bx)^2\ge0` (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi `ay=bx <=> a/x = b/y`

Áp dụng bất đẳng thức trên với hai số `{(a+b)^2}/{x+y}` và `{c^2}/{z}` ta được:

`{(a+b)^2}/{x+y}+ {c^2}/{z}\ge {(a+b+c)^2}/{x+y+z}` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `=>a^2/x + b^2/y+ {c^2}/{z}\ge {(a+b+c)^2}/{x+y+z}`

Dấu "=" xảy ra khi `a/x = b/y =c/z.`

Áp dụng bất đẳng thức `a^2/x + b^2/y+ {c^2}/{z}\ge {(a+b+c)^2}/{x+y+z}` cho ba số `1/a , 1/b , 1/c` không âm ta được:

`1/a +1/b +1/c \ge {(1+1+1)^2}/{a+b+c}=9/{a+b+c}`

Dấu "=" xảy ra khi `1/a = 1/b =1/c<=>a=b=c>0.`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

BĐT ⇔ (a+b+c)/a +(a+b+c)/b+(a+b+c)/c ≥9

⇔3+(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(b/c+c/b)≥9

lại có theo BĐT Cô si: a/b+b/a≥2√(ab/ba)=2

⇒(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(b/c+c/b)≥ 2+2+2 =6

⇒3+(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(b/c+c/b)≥9 (đpcm)

dấu = xảy ra khi a=b=c