Giải thích các bước giải:

a. Xét $\Delta ABD,\Delta ADM$ có:
Chung $AD$

$\widehat{DAB}=\widehat{DAM}$ vì $AD$ là phân giác $\hat A$

$AB=AM$

$\to \Delta ABD=\Delta AMD(c.g.c)$

b.Xét $\Delta ADI,\Delta AKD$ có:

$\widehat{DAI}=\widehat{DAK}$

Chung $AD$

$\widehat{AID}=\widehat{AKD}(=90^o)$

$\to \Delta ADI=\Delta ADK$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AI=AK, DI=DK$

$\to BI=AB-AI=AM-AK=KM$

Ta có: $\Delta BID$ vuông tại $I\to BI^2=BD^2-DI^2=25$

$\to BI=5$

$\to KM=BI=5$

c. Vì $A$ là trung điểm $IP\to AI=AP$

Mà $AI=AK$

$\to AI=AP=AK$

$\to \Delta AIK,\Delta AKP$ cân tại $A$

$\to \widehat{AKI}=\widehat{AIK},\widehat{AKP}=\widehat{APK}$

$\to \widehat{IKP}=\widehat{AKI}+\widehat{AKP}=\widehat{AIK}+\widehat{APK}=\widehat{PIK}+\widehat{IPK}$

$\to 2\widehat{IKP}=\widehat{PIK}+\widehat{IPK}+\widehat{IKP}=180^o$

$\to \widehat{IKP}=90^o$

d.Ta có: $A, Q$ là trung điểm $IP, PD$ và $IQ\cap DA=S$

$\to S$ là trọng tâm $\Delta PID$

Xét $\Delta QPT,\Delta QDI$ có:

$QP=QD$

$\widehat{PQT}=\widehat{IQD}$

$QT=QI$ vì $Q$ là trung điểm $IT$

$\to \Delta QPT=\Delta QDI(c.g.c)$

$\to PT=ID,\widehat{QPT}=\widehat{QDI}\to PT//ID$

Mà $DI\perp AI\to PT\perp AI$

$\to IT^2=IP^2+PT^2=PI^2+ID^2=PD^2$

$\to IT=PD$

$\to 2QI=PD$

$\to IQ=\dfrac12PD$

Vì $S$ là trọng tâm $\Delta PID$

$\to 3IS=3\cdot \dfrac23IQ=2IQ=IT=PD>PI=AI+AP=AK+AK=2AK$

Đáp án:

a) $AD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{CAD}$ mà $M\in AC$

$\Rightarrow\widehat{CAD}=\widehat{MAD}\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{MAD}$.

Xét hai tam giác $\Delta ADB$ và $\Delta ADM$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=AM\,\rm(gt)\\\widehat{ABD}=\widehat{MAD}\,\rm(cmt)\\AD\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\!\right\}\Delta ADB=\Delta ADM$ (c-g-c).

b) $\Delta BID$ vuông tại $I$ ($DI\,\bot\,AB$)

Áp dụng định lý Pythagoras ta có:

$BD^2=BI^2+DI^2$

$\Rightarrow BI^2=BD^2-DI^2$

$\Rightarrow BI=\sqrt{BD^2-DI^2}$

$\Rightarrow BI=\sqrt{13^2-12^2}$

$\Rightarrow BI=\sqrt{25}$

$\Rightarrow BI=5(cm)$.

$\Delta ADB=\Delta ADM$ (cmt)

$\Rightarrow BD=MD$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{AMD}$ (hai góc tương ứng).

Ta có $I\in AB\Rightarrow\widehat{IBD}=\widehat{ABD}$

Và $K\in AC\Rightarrow\widehat{KMD}=\widehat{AMD}$

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{AMD}$ nên $\widehat{IBD}=\widehat{KMD}$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta BID$ và $\Delta KMD$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}BD=MD\,\rm(cmt)\\\widehat{IBD}=\widehat{KMD}\,\rm(cmt)\end{array}\right\}\Delta BID=\Delta KMD$ (ch-gn).

$\Rightarrow BI=KM$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $BI=5$ cm nên $KM=5(cm)$.

c) $A$ là trung điểm của $IP\Rightarrow AI=AP$

$AB=AM,BI=KM$ (cmt)

$\Rightarrow AB-BI=AM-KM$

$\Rightarrow AI=AK\Rightarrow\Delta AIK$ cân.

$\Rightarrow \widehat{AIK}=\widehat{AKI}$ (hai góc đáy bằng nhau).

$AI=AK$ mà $AI=AP\Rightarrow AK=AP$

$\Rightarrow \Delta AKP$ cân $\Rightarrow\widehat{AKP}=\widehat{APK}$

$\Delta IKP$ có tổng ba góc là $180^\circ$

Hay $\widehat{IKP}+\widehat{IPK}+\widehat{KIP}=180^\circ$

$\Rightarrow\widehat{IKP}+\widehat{APK}+\widehat{AIK}=180^\circ$

Mà $\widehat{AKP}=\widehat{APK}$ và $\widehat{AIK}=\widehat{AKI}$

$\Rightarrow\widehat{IKP}+\widehat{AKP}+\widehat{AKI}=180^\circ$

$\Rightarrow \widehat{IKP}+\widehat{IKP}=180^\circ$

$\Rightarrow2\widehat{IKP}=180^\circ$

$\Rightarrow\widehat{IKP}=90^\circ$.

d) $Q$ là trung điểm của $PD$

$\Rightarrow IQ$ là đường trung tuyến của $\Delta DIP$

$A$ là trung điểm của $AP$

$\Rightarrow AD$ là đường trung tuyến của $\Delta DIP$

Mà $IQ\cap AD=S\Rightarrow S$ là trọng tâm của $\Delta DIP$
$\Rightarrow IS=\dfrac23IQ$
$Q$ là trung điểm của $PD\Rightarrow PQ=DQ$.

$Q$ là trung điểm của $IT\Rightarrow IQ=TQ$.

Xét hai tam giác $\Delta IPQ$ và $\Delta QTD$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}PQ=DQ\,\rm(cmt)\\\widehat{IQP}=\widehat{DQT}\,\rm(đ^2)\\IQ=TD\,\rm(cmt)\end{array}\!\right\}\Delta IPQ=\Delta QTD$ (c-g-c).

$\Rightarrow IQ=PQ$ (hai cạnh tương ứng).

$\Delta IPQ$ có $IQ+PQ>IP$ (bất đẳng thức tam giác).

Mà $IQ=PQ\Rightarrow 2IQ>IP$ và $AI+AP=IP,AI=AP$

$\Rightarrow IP=2AI\Rightarrow 2IQ>2AI$
$\Rightarrow IQ>AI$ mà $IS=\dfrac23IQ\Rightarrow IS>\dfrac23AI$
$\Rightarrow 3IS>2AI$ mà $AI=AK$

$\Rightarrow 2AK<3IS$.