Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AMC,\Delta ABN$ có:

$AM=AB$ vì $\Delta AMB$ vuông cân tại $A$

$\widehat{MAC}=\widehat{MAB}+\widehat{BAC}=90^o+\widehat{BAC}=\widehat{NAC}+\widehat{BAC}=\widehat{BAN}$

$AC=AN$ vì $\Delta ACN$ vuông cân tại $A$

$\to \Delta AMC=\Delta ABN(c.g.c)$

b.Gọi $CM\cap BN=E, AB\cap CM=D$

Từ câu a $\to \widehat{AMC}=\widehat{ABN}$

$\to \widehat{AMD}=\widehat{DBE}$

Mà $\widehat{ADM}=\widehat{BDE}$

$\to \widehat{DEB}=180^o-\widehat{BDE}-\widehat{DBE}=180^o-\widehat{MDA}-\widehat{DMA}=\widehat{MAD}=90^o$

$\to MC\perp BN$

c.Gọi $G$ là trung điểm $BC\to GB=GC$

Trên tia đối của tia $GA$ lấy $K$ sao cho $GA=GK$

Xét $\Delta GAB,\Delta GKC$ có:

$GA=GK$

$\widehat{AGB}=\widehat{CGK}$(đối đỉnh)

$GB=GC$

$\to \Delta GAB=\Delta GKC(c.g.c)$

$\to CK=AB=AM, \widehat{GAB}=\widehat{GKC}\to AB//CK$

Xét $\Delta MAN,\Delta CAK$ có:

$AM=CK$

$\widehat{MAN}=360^o-\widehat{MAB}-\widehat{NAC}-\widehat{BAC}=180^o-\widehat{BAC}=\widehat{ACK}$

$AN=AC$

$\to \Delta AMN=\Delta CKA(c.g.c)$

$\to \widehat{MNA}=\widehat{KAC},\widehat{AMN}=\widehat{AKC}=\widehat{BAG}$

Xét $\Delta AFN,\Delta ACG$ có:

$\widehat{FAN}=180^o-\widehat{NAC}-\widehat{HAC}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{ACH}=\widehat{ACG}$

$AN=AC$

$\widehat{FNA}=\widehat{MNA}=\widehat{CAK}=\widehat{CAG}$

$\to \Delta AFN=\Delta CGA(g.c.g)$

$\to FN=AG$

Tương tự chứng minh được $\Delta FMA=\Delta GAB(g.c.g)$

$\to FM=GA$

$\to FN=FM$

$\to F$ là trung điểm $MN$

$\to AH$ đi qua $F$ là trung điểm $MN$