Trường hợp $1$ : $ x+ y + z = 0$

$ \to x  + y = -z ; y+ z = -x ; x + z = -y$. Ta có

$ M =( 1+ \dfrac{x}{y}) . ( 1+ \dfrac{y}{z}) . ( 1+ \dfrac{z}{x}) = \dfrac{x+y}{y} . \dfrac{y+z}{z}. \dfrac{x+z}{x}$

$ = \dfrac{(x+y)(y+z)(x+z)}{xyz} = \dfrac{(-x)(-y)(-z)}{xyz} = -1$

Trường hợp $2$ : $ x+y+z \ne 0$

$ \dfrac{y+z-x}{x} = \dfrac{z+x-y}{y} = \dfrac{x+y-z}{z}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

$ \dfrac{y+z-x}{x} = \dfrac{z+x-y}{y} = \dfrac{x+y-z}{z} = \dfrac{y+z-x +z+x-y+x+y-z}{x+y+z} $

$ = \dfrac{x+y+z}{x+y+z} = 1$

Ta có $ \dfrac{y+z-x}{x} = 1 \to y + z - x = x \to y + z = 2x$

Tương tự ta có $ x + y = 2z ; x + z = 2y$

$M =  ( 1+ \dfrac{x}{y}) . ( 1+ \dfrac{y}{z}) . ( 1+ \dfrac{z}{x}) = \dfrac{x+y}{y} . \dfrac{y+z}{z}. \dfrac{x+z}{x}$

$ = \dfrac{2x.2y.2z}{xyz} = 2.2.2 = 8$

Kết luận : 

Với $ x + y+ z = 0$ thì $ M = -1$

Với $ x+ y + z \ne 0$ thì $M = 8$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có :

`[y+z-x]/x=[z+x-y]/y=[x+y-z]/z=[y+z-x+z+x-y+x+y-z]/[x+y+z]=[x+y+z]/[x+y+z]`

`\star` Với `x+y+z=0`

$⇒ \left\{\begin{matrix} x+y=-z & \\ y+z=-x & \\ z+x=-y& \end{matrix}\right.$

`=> M = (1+x/y).(1+y/z).(1+z/x) = [x+y]/y.[z+y]/z.[x+z]/x=[(-z).(-x).(-y)]/[xyz]=-1`

`\star` Với `x+y+z\ne0`

`⇒ [y+z-x]/x=[z+x-y]/y=[x+y-z]/z=[y+z-x+z+x-y+x+y-z]/[x+y+z]=[x+y+z]/[x+y+z]=1`

$⇒ \left\{\begin{matrix} x=y+z-x & \\ y=z+x-y& \\ z=x+y-z & \end{matrix}\right.$

`⇒ M = (1+x/y).(1+y/z).(1+z/x) = [y+z-x+z+x-y]/y.[x+y-z+z+x-y]/z.[y+z-x+x+y-z]/x=[2z]/y.[2x]/z.[2y]/x=[8xyz]/[xyz]=8`