Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta BMD,\Delta CNE$ có:

$\widehat{MDB}=\widehat{CEN}(=90^o)$

$BD=CE$

$\widehat{MBD}=\hat B=\hat C=\widehat{ECN}$ 

$\to \Delta BDM=\Delta CEN(g.c.g)$

$\to DM=EN$

b.Xét $\Delta IMD,\Delta INE$ có:

$\widehat{IMD}=\widehat{INE}$ vì $MD//NE(\perp BC)$

$DM=EN$

$\widehat{IDM}=\widehat{IEN}(=90^o)$

$\to \Delta IMD=\Delta INE(g.c.g)$

$\to IM=IN$

$\to I$ là trung điểm $MN$

c.Gọi $F$ là giao điểm của $2$ đường thẳng qua $B$ vuông góc với $AB$ và qua $C$ vuông góc $AC$

$\to F$ cố đinh

$\to FB^2=FA^2-AB^2=FA^2-AC^2=FC^2$

$\to FB=FC$

Từ câu a $\to BM=CN$

Xét $\Delta FBM,\Delta FCN$ có:

$BM=CN$

$\widehat{FBM}=\widehat{FCN}(=90^o)$

$FB=FC$

$\to \Delta FBM=\Delta FCN(c.g.c)$

$\to FM=FN$

$\to F\in$ trung trực $MN$

Mà $I$ là trung điểm $MN$

$\to FI\perp MN=I$

$\to $ Đường thẳng vuông góc với $MN$ tại $I$ luôn đi qua $F$ cố định