Đáp án:

a) $AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$.

Mà $E\in AC\Rightarrow\widehat{EAD}=\widehat{CAD}$

$\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$.

Xét hai tam giác $\Delta ABD$ và $\Delta ADE$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=AE\,\rm(gt)\\\widehat{ BAD}=\widehat{EAD}\rm\,(cmt)\\AD\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\!\right\}\Delta ABD=\Delta ADE$ (c-g-c).

$\Rightarrow BD=DE$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{AED}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow 180^\circ-\widehat{ABD}=180^\circ-\widehat{AED}$ (kề bù).

$\Rightarrow\widehat{DBF}=\widehat{DEC}$ 

Xét hai tam giác $\Delta BDF$ và $\Delta EDC$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{DBF}=\widehat{DEC}\,\rm(cmt)\\BD=DE\rm(cmt)\\\widehat{BDF}=\widehat{CDE}\,\rm(đ^2)\end{array}\right\}\Delta BDF=\Delta EDC$ (g-c-g).

$\Rightarrow BF=EC$ (hai cạnh tương ứng).

$AF=AC\Rightarrow\Delta ACF$ cân tại $A$

$\Delta ACF$ có đường phân giác $AD$

$\Rightarrow AD$ đồng thời là đường cao của $\Delta ACF$ ứng với cạnh $FC$

$\Rightarrow AD\,\bot\,FC$.