`a)` Xét $∆AMN$ và $∆NDC$ có:

`\hat{ANM}=\hat{NCD}` (hai góc đồng vị do $MN$//$BC$)

`\hat{MAN}=\hat{DNC}=90°` (hai góc đồng vị do $DN$//$AB$)

`=>∆AMN∽∆NDC` (g-g)

$\\$

`b)` $AN=8cm, BM=4cm$

Vì `2AM=3BM` (gt)

`=>AM=3/ 2 BM=3/ 2 .4=6cm`

$\quad ∆AMN$ vuông tại $A$

`=>S_{∆AMN}=1/ 2 AM.AN=1/ 2 .6.8=24cm^2`

$\\$

Ta có: `AB=AM+BM=6+4=10cm`

Xét $∆AMN$ và $∆ABC$ có:

`\hat{A}` chung

`\hat{AMN}=\hat{ABC}` (hai góc đồng vị do $MN$//$BC$)

`=>∆AMN∽∆ABC` (g-g)

`=>{AN}/{AC}={AM}/{AB}=6/{10}=3/ 5` (tỉ số đồng dạng)

`=>{AN}/{AC}=3/ 5`

`=>AC={5AN}/3={5.8}/3={40}/3cm`

$\\$

$\quad ∆ABC$ vuông tại $A$

`=>S_{∆ABC}=1/ 2 .AB.AC`

`\qquad =1/ 2 .10.{40}/3={200}/3cm^2`

$\\$

Ta có:

`\qquad NC=AC-AN={40}/3-8={16}/3cm`

Tứ giác $MNDB$ có:

`\qquad MN`//$BD$ (do $MN$//$BC$)

`\qquad DN`//$BM$ (do $DN$//$AB$)

`=>MNDB` là hình bình hành 

`=>ND=BM=4cm`

$\\$

$\quad ∆NDC$ vuông tại $N$

`=>S_{∆NDC}=1/ 2 .ND.NC`

`\qquad =1/ 2 . 4.{16}/3={32}/3cm^2`

$\\$

Vậy `S_{∆AMN}=24cm^2;S_{∆ABC}={200}/3cm^2;S_{∆NDC}={32}/3cm^2`

a/ \(DN//AM\\→\widehat{MAN}=\widehat{DNC}\)

\(MN//BC→\widehat{ANM}=\widehat{NCD}\)

Xét \(ΔAMN\) và \(ΔNDC\):

\(\widehat{MAN}=\widehat{DNC}\)

\(\widehat{ANM}=\widehat{NCD}\)

\(→ΔAMN\backsim ΔNDC(g-g)\)

\(\\\\\)

b/ \(\begin{cases}MN//BD\\DN//BM\end{cases}→MBDN\) là hình bình hành

\(→BM=DN=4\)

\(AM=\dfrac{3MB}{2}=6\)

\(→AB=10\)

\(ΔAMN\backsim ΔNDC\)

\(→\dfrac{NA}{CN}=\dfrac{AM}{DN}\)

\(→\dfrac{8}{CN}=\dfrac{6}{4}\)

\(→CN=5,(3) \)

\(→AC=5,(3)+8=13,(3))\)

\(S_{ΔABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.10.13,(3)=66,(6)(cm^2)\)

\(S_{ΔAMN}=\dfrac{1}{2}.AM.AN=\dfrac{1}{2}.8.6=24(cm^2)\)

\(\widehat{BAC}=\widehat{DNC}=90^\circ\)

\(→ΔNDC\) vuông tại \(N\)

\(→S_{ΔNDC}=\dfrac{1}{2}.ND.NC=\dfrac{1}{2}.5,(3).4=10,(6)(cm^2)\)