Giải thích các bước giải:

Bài 3:

a.Xét $\Delta AHB, \Delta AHC$ có:

Chung $AH$

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}$

$AB=AC$

$\to\Delta AHB=\Delta AHC$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

b.Xét $\Delta AMN, \Delta CND$ có:

$NA=NC$ vì $N$ là trung điểm $AC$

$\widehat{ANM}=\widehat{DNC}$(đối đỉnh)

$NM=ND$

$\to \Delta AMN=\Delta CND(c.g.c)$

$\to \widehat{NMA}=\widehat{NDC}$

$\to AM=CD, AM//CD$

$\to CD//AB$

c.Vì $M$ là trung điểm $AB\to MA=MB$

Mà $AM=CD\to CD=BM$

Xét $\Delta MDC, \Delta BCM$ có:

chung $MC$

$\widehat{BMC}=\widehat{MCD}$ vì $CD//AB$

$BM=CD$

$\to\Delta MCD=\Delta CMB(c.g.c)$

$\to MD=BC$

$\to 2MN=BC$

$\to MN=\dfrac12BC$

d.Goi $CM\cap BD=E$

Xét $\Delta MEB,\Delta CED$ có:

$\widehat{EMB}=\widehat{ECD}$ vì $BM//CD$

$BM=CD$

$\widehat{EBM}=\widehat{EDC}$

$\to \Delta BME=\Delta DCE(g.c.g)$

$\to EM=EC, EB=ED$

$\to E$ là trung điểm $BD, CM$

Từ câu a $\to HB=HC\to H$ là trung điểm $BC$

Mà $CM\cap DH=I\to CE\cap DH=I$

$\to I$ là trọng tâm $\Delta BCD$

Do $K$ là trung điểm $CD\to B, I, K$ thẳng hàng

Bài 4:

Ta có:

$a<a+b+c$ vì $a, b, c, d\in N^*$

$\to \dfrac{a}{a+b+c}<1$

$\to \dfrac{a}{a+b+c}<\dfrac{a+d}{a+b+c+d}(1)$

Tương tự $\dfrac{b}{a+b+d}<\dfrac{b+c}{a+b+c+d}(2)$

                $\dfrac{c}{b+c+d}<\dfrac{a+c}{a+b+c+d}(3)$

                $\dfrac{d}{a+c+d}<\dfrac{d+b}{a+b+c+d}(4)$

Cộng vế với vế của $(1), (2), (3), (4)$

$\to M<2$

$\to M^{10}<2^{10}=1024<2021$

$\to đpcm$