Đáp án + giải thích các bước giải:

Xét `ΔABC` có: $\left\{\begin{matrix} AD \text{ là đường cao }(1)\\BE \text{ là đường cao }(2)\\ CF \text{ là đường cao }(3) \\ G \text{ là trung điểm AB }(4)\\H \text{ là trung điểm AC }(5)\\ I \text{ là trung điểm BC }(6) \\ J \text{ là trực tâm }(7) \\K \text{ là trung điểm AJ }(8) \\ L \text{ là trung điểm BJ }(9) \\ M \text{ là trung điểm CJ }(10)\\ N\text{ là giao của GM và LH}\end{matrix}\right.$

Từ `(4)` và `(5)` ta có `GH` là đường trung bình của `ΔABC`

$\to \left\{\begin{matrix} GH//BC\\GH=\dfrac{BC}{2} \end{matrix}\right. (11) $ 

Từ `(9)` và `(10)` ta có `LM` là đường trung bình của `ΔJBC`

$\to \left\{\begin{matrix} LM//BC\\LM=\dfrac{BC}{2} \end{matrix}\right. (12) $

Từ `(11)` và `(12)` ta có `GH=LM` và `GH////LM`

`-> LMGH` là hình bình hành `(13)`

Từ `(4)` và `(9)` ta có `GL` là đường trung bình của `ΔABJ`

`->GL////AJ`

`->GL////AD`

kết hợp với `(1)`

`->GL⊥BC `

mà `GH////LM////BC` (hình bình hành)

`->GL⊥LM`

kết hợp với `(13)`

`->LMGH` là hình chữ nhật `(***)`

`->LMGH` nội tiếp đường tròn đường kính `GM`

Từ `(4)` và `(6)` ta có `GI` là đường trung bình của `ΔABC`

$\to \left\{\begin{matrix} GI//AC\\GI=\dfrac{AC}{2} \end{matrix}\right. (14) $  

Từ `(8)` và `(10)` ta có `KM` là đường trung bình của `ΔAJC`

$\to \left\{\begin{matrix} KM//AC\\KM=\dfrac{AC}{2} \end{matrix}\right. (15) $ 

Từ `(14)` và `(15)` ta có `GI=KM` và `GI////KM `

`->GIKM` là hình bình hành `(16)` 

Từ `(4)` và `(8)` ta có GK là đường trung bình của ΔABJ

`->GK////BJ`

`->GK////BE `

kết hợp với `(2)`

`->GK⊥AC`

mà `GI////KM////AC` (hình bình hành)

`->GK⊥KM `

kết hợp với `(16)`

`->GKMI` là hình chữ nhật `(******)`

`->GKMI` nội tiếp đường tròn đường kính `GM `

Từ `(1)` ta có `KD⊥DI`

`->ΔKDI` vuông tại `D`

`->K,D,I` nội tiếp đường tròn đường kính `KI` `(*********)`

Từ `(2)` ta có `LE⊥EH`

`->ΔLEH` vuông tại `E`

`->L,E,H` nội tiếp đường tròn đường kính `LH` `(************)`

Từ `(3)` ta có `MF⊥FG`

`->ΔMFG` vuông tại `F`

`->M,F,G` nội tiếp đường tròn đường kính `MG` `(***************) `

Từ `(***)` và `(******)` ta có `GM=LH=KI` và `N` là trung điểm của cả ba đoạn thẳng này `(@)`

Kết hợp `(@)` với `(***),(******),(*********),(************),(***************)` ta có `G,F,K,E,H,M,I,D,L` cùng thuộc đường tròn tâm `N` đường kính `KI`

Ta có điều phải chứng minh