Giải thích các bước giải:

 - Xét ΔAEH và ΔADC có: $\widehat{DAC}$ chung

                                      $\widehat{AEH}$ = $\widehat{ADC}$ = 90*

⇒ ΔAEH $\backsim$ ΔADC (g.g) ⇒ $\dfrac{AE}{AD}$ = $\dfrac{AH}{AC}$

                                                    ⇔  AH.AD = AC.AE  (1)

 - Xét ΔCHE và ΔCAF có: $\widehat{ACF}$ chung

                                  $\widehat{CEH}$ = $\widehat{CFA}$ = 90*

⇒ ΔCHE $\backsim$ ΔCAF (g.g) ⇒ $\dfrac{CH}{CA}$ = $\dfrac{CE}{CF}$

                                                    ⇔ CH.CF = AC.CE  (2)

 Từ (1) và (2) suy ra AH.AD + CH.CF = AC.AE + AC.CE = AC.(AE+CE) = AC²  (3)

 - Xét ΔADC và ΔDMC có:  $\widehat{ACD}$ chung

                                    $\widehat{ADC}$ = $\widehat{DMC}$ = 90*

⇒ ΔADC $\backsim$ ΔDMC (g.g) ⇒ $\dfrac{AC}{DC}$ = $\dfrac{DC}{MC}$

                                                    ⇔ AC.CM = CD² 

                                                 ⇔ AC².CM² = $CD^{4}$ 

                                                  ⇔     AC² = $CD^{4}$/CM² (4)

 Từ (3) và (4) suy ra AH.AD +CH.CF = $\dfrac{ $CD^{4}$}{CM²}$

$\hspace{0.65cm}\ \underline{Gợi\ ý:}$

$\hspace{0.65cm}$ Dễ cm: $AH.\ AD=AE.\ AC$

$\hspace{2cm}\ CH.\ CF=CE.\ AC$

$\Rightarrow\ AH.\ AD+CH.\ CF=AE.\ AC+CE.\ AC$

$\hspace{4.95cm}\ =AC(AE+CE)$

$\hspace{4.95cm}\ =AC^2\ \ \ \ \ (1)$

$\hspace{0.65cm}$ Xét $\triangle ACD$ vuông tại $D$ có $DM$ là đường cao

$\Rightarrow\ CM.\ AC=CD^2$

$\Leftrightarrow\ CM^2.\ AC^2=CD^4$

$\Leftrightarrow\ AC^2=\dfrac{CD^4}{CM^2}\ \ \ \ \ (2)$

$\hspace{0.65cm}$ Từ $(1),(2)\ \Rightarrow\ ĐPCM$